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Bonsoir , pourriez-vous m’aider pour mon devoirs maison s’il vous plaît. .

Exercice 4 défi:

La suite (un) vérifie pour tout entier naturel n: Un+1 = Un + n-3
1) Montrer que la suite est croissante à partir du rang 3.
2) Prouver que, quel que soit la valeur du premier terme up, on a toujours :
Uz = U4 ; U2 = Us ; U = U6 et U7=uo

Sagot :

Bonsoir,

1) La monotonie de la suite [tex](u_n)[/tex] est donnée par le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] :

- Si [tex]u_{n+1}-u_n>0[/tex], la suite est strictement croissante.

- Si [tex]u_{n+1}-u_n <0[/tex], elle est strictement décroissante.

On calcule donc, pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] :

[tex]u_{n+1}-u_n=n-3[/tex]

C'est négatif si [tex]n \le 3[/tex] et positif si [tex]n \ge 3[/tex].

On retrouve bien que [tex](u_n)[/tex] est croissante pour [tex]n \ge 3[/tex] (et décroissante pour [tex]n \le 3[/tex]).

2) On fixe la valeur de [tex]u_0[/tex] (quelconque).

On calcule ensuite les valeurs suivantes de la suite à l'aide de la formule de récurrence :

[tex]u_1=u_0-3\\u_2=u_1-2=u_0-3-2=u_0-5\\u_3=u_2-1=u_0-6\\\boxed{u_4=u_3}=u_0-6\\u_5=u_4+1=u_0-5 \Rightarrow \boxed{u_2=u_5}\\u_6=u_5+2=u_0-3 \Rightarrow \boxed{u_1=u_6}\\u_7=u_6+3=u_0 \Rightarrow \boxed{u_7=u_0}[/tex]

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