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Bonsoir,
1) La monotonie de la suite [tex](u_n)[/tex] est donnée par le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] :
- Si [tex]u_{n+1}-u_n>0[/tex], la suite est strictement croissante.
- Si [tex]u_{n+1}-u_n <0[/tex], elle est strictement décroissante.
On calcule donc, pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] :
[tex]u_{n+1}-u_n=n-3[/tex]
C'est négatif si [tex]n \le 3[/tex] et positif si [tex]n \ge 3[/tex].
On retrouve bien que [tex](u_n)[/tex] est croissante pour [tex]n \ge 3[/tex] (et décroissante pour [tex]n \le 3[/tex]).
2) On fixe la valeur de [tex]u_0[/tex] (quelconque).
On calcule ensuite les valeurs suivantes de la suite à l'aide de la formule de récurrence :
[tex]u_1=u_0-3\\u_2=u_1-2=u_0-3-2=u_0-5\\u_3=u_2-1=u_0-6\\\boxed{u_4=u_3}=u_0-6\\u_5=u_4+1=u_0-5 \Rightarrow \boxed{u_2=u_5}\\u_6=u_5+2=u_0-3 \Rightarrow \boxed{u_1=u_6}\\u_7=u_6+3=u_0 \Rightarrow \boxed{u_7=u_0}[/tex]
Bonne soirée et n'hésite pas à demander des précisions !
