Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
L'exercice 2 n'est pas cadré!
ex_1:
a)
[tex]u_n\leq n+3\ \Longrightarrow\ \dfrac{2}{3} u_n \leq \dfrac{2}{3}(n+3)\\\\\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1 \leq \dfrac{2}{3}n+2+\dfrac{1}{3}n+1\\\\u_{n+1}\leq n+3\\[/tex]
b)
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-u_n\\=-\dfrac{1}{3}(u_n-n-3) \geq 2 \geq 0\\car\ u_n\leq n+3 \Longrightarrow\ u_n-n-3 \leq -6[/tex]
La suite est croissante
2)
[tex]v_n=u_n-n\\v_0=u_0-0=2\\\\v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1\\=\dfrac{2}{3}(u_n-n)=\dfrac{2}{3}v_n\\\\[/tex]
v(n) est géométrique de raison 2/3
[tex]v_n=2*(\dfrac{2}{3})^n\\\\u_n=n+2*(\dfrac{2}{3})^n)\\[/tex]
3)
[tex]T_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n(k+2*(\dfrac{2}{3})^k)\\\\=\displaystyle \sum_{k=0}^n\ k +2\displaystyle \sum_{k=0}^n(\dfrac{2}{3})^k\\\\=\dfrac{n(n+1)}{2} +2\dfrac{(\dfrac{2}{3})^{n+1}-1}{\dfrac{2}{3} -1} \\\\\\T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}-6((\dfrac{2}{3})^{n+1}-1)[/tex]
