Réponse:
On factorise le numérateur par n en plaçant le facteur n avant la parenthèse contenant l'expression dont chaque terme est divisé par n.
[tex] \frac{3 + n}{2 + \frac{1}{n} } = \frac{n( \frac{3}{n} + \frac{n}{n} )}{2 + \frac{1}{n} } = \frac{n( \frac{3}{n} + 1) }{2 + \frac{1}{n} } [/tex]
3/n et 1/n tendent vers 0
(3/n +1 ) tend vers 1
(2+ 1/n) tend vers 2
Leur quotient tend donc vers 1/2
n tend vers +∞
Le produit des limites tend vers +∞
On peut aussi factoriser le denominateur de la meme manière et retrouver le meme resultat :
[tex]\frac{n( \frac{3}{n} + 1) }{2 + \frac{1}{n} }= \frac{n( \frac{3}{n} + 1) }{n(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} )}=\frac{( \frac{3}{n} + 1) }{(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} )}[/tex]
Apres simplification par n :
le numérateur tend vers 1
le denominateur tend vers 0⁺
par quotient, l'ensemble tend vers +∞
On utilise très souvent cette double factorisation dans les quotients de polynômes.
