Réponse :
Em : (m - 1) x² - 2 x + 1 - m = 0
démontrer que pour tout m ≠ 1, l'équation Em a deux solutions distinctes x1 et x2 de signes contraires
Δ = 4 - 4(m- 1)² = (2 - 2(m - 1))(2 + 2(m - 1)) = m (4 - 2 m) = 2 m(2 - m)
pour qu'il y ait deux solutions distinctes il faut que Δ > 0 ⇔ 2 m(2 - m) > 0
m - ∞ 0 2 + ∞
2m - 0 + +
2 - m + + 0 -
P - 0 + 0 -
il faut que 0 < m < 2 ou m ∈ ]0 ; 2[ avec m ≠ 1
pour que x1 et x2 soit de signes contraires il faut P = x1 * x2 < 0
pour m = 0.5
- 0.5 x² - 2 x + 0.5 = 0
Δ = 4 + 1 = 5 ⇒ Δ > 0 donc on a deux racines distinctes
x1 = 2+√5)/- 1 = - 2 - √5
x2 = 2 - √5)/- 1 = - 2 + √5
P = x1*x2 = (- 2 - √5)(- 2 + √5) = 4 - 5 = - 1 < 0 donc x1 et x2 sont de signes contraires
Explications étape par étape