Réponse :
Initialisation : vérifions que P(0) est vraie 3³ - 4² est divisible par 11
27 - 16 = 11 donc 11 est divisible par 11 donc P(0) est vraie
hérédité : on suppose que pour tout entier naturel n P(n) est vraie c'est à dire (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11 et montrons que P(n+1) est vraie aussi
c'est à dire on veut montrer que 3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺³ - 4⁴⁽ⁿ⁺¹⁾⁺² est divisible par 11
(3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺³ - 4⁴⁽ⁿ⁺¹⁾⁺²) - (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) = 3ⁿ⁺⁴ - 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺⁴⁺² + 4⁴ⁿ⁺²
= 3ⁿ⁺³(3 - 1) - 4⁴ⁿ⁺²(4⁴ - 1) = 2 x 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²(255)
=2 x 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²(253 + 2)
= 2 x 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²(11 x 23 + 2) = 2 x 3ⁿ⁺³ - 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺² - 4⁴ⁿ⁺² x 2
= 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) - 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺²
= 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) + (- 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺²)
or 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11 par hypothèse
et - 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺² est divisible par 11
donc par addition 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) + (- 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11
donc (3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺³ - 4⁴⁽ⁿ⁺¹⁾⁺²) - (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11
Conclusion : pour n = 0 P(0) est vraie
pour tout entier naturel n, par récurrence P(n) est vraie
Explications étape par étape
