Bonsoir,
b)
[tex]f'(x) = \frac{x(x-1)(x^{2}+x+4)}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]
Or pour tout x dans R, [tex](x^{2}+1)^{2} > 0[/tex] donc f'(x) est du signe de [tex]x(x-1)(x^{2}+x+4)[/tex]
[tex]x^{2}+x+4[/tex] est un polynôme du second degré dont le discriminant Δ est :
Δ [tex]= 1^{2} - 4 * 1 * 4 = 1 - 16 = -15[/tex]
Δ < 0 donc [tex]x^{2}+x+4[/tex] est du signe de 1 (positif) et donc f'(x) est du signe de [tex]x(x-1)[/tex].
Faire Tableau de Signe pour [tex]x(x-1)[/tex]. (Voir image "TabSigne" en piéce Jointe")
Ainsi :
f'(x) > 0 ⇔ x ∈ ]-∞ ; 0[ U ]1 ; +∞[
f'(x) < 0 ⇔ x ∈ ]0 ; 1[
f'(x) = 0 ⇔ x = 0 et x = 1 (Nombres Isolés)
c)
Pour tout x ∈ [0 ; 1], f'(x) ≤ 0 donc f(x) est décroissant sur cette intervalle.
Rappel : Si une fonction est décroissante alors quand x augmente, f(x) diminue.
[tex]f(0) = \frac{0^{3}+2}{0^{2}+1} = \frac{2}{1} = 2\\f(1) = \frac{1^{3}+2}{1^{2}+1} = \frac{3}{2}\\[/tex]
En application du rappel précédent quand x augmente au constate que f(x) diminue d'où
[tex]\frac{3}{2} \leq \frac{x^{3}+2}{x^{2}+1}\leq 2[/tex]
