Réponse : Bonjour,
Soit H le projeté orthogonal du point M sur l'axe des abscisses.
Comme [tex]M \in C[/tex], alors le point M a pour coordonnées [tex]M(x; -x^{2}+11x-18)[/tex].
Le point H a pour coordonnées [tex]H(x; 0)[/tex].
[MH] est donc la hauteur issue de M du triangle ABM.
L'aire [tex]\mathcal{A}_{AMB}[/tex], du triangle ABM est donc:
[tex]\displaystyle \mathcal{A}_{AMB}=\frac{AB \times MH}{2}[/tex]
Calculons les distances AB et MH:
[tex]\displaystyle AB=\sqrt{(9-2)^{2}}=\sqrt{7^{2}}=7\\ MH=\sqrt{(x-x)^{2}+(x^{2}-11x+18)^{2}}=|x^{2}-11x+18|[/tex]
Pour pouvoir enlever la valeur absolue, il nous faut étudier le signe de x²-11x+18 sur l'intervalle [2;9].
On calcule le discriminant:
[tex]\displaystyle \Delta=(-11)^{2}-4 \times 1 \times 18=121-72=49\\ x_{1}=\frac{11-7}{2}=2\\ x_{2}=\frac{11+7}{2}=9[/tex]
Comme le discriminant est strictement positif, alors [tex]x^{2}-11x+18 < 0[/tex], sur l'intervalle [2;9].
Donc pour [tex]x \in [2;9], MH=-x^{2}+11x-18[/tex].
On est donc maintenant en mesure de calculer l'aire du triangle ABM:
[tex]\displaystyle \mathcal{A}_{AMB}=\frac{7(-x^{2}+11x-18)}{2}[/tex]
Il faut déterminer le maximum de -x²+11x-18.
Comme [tex]a < 0[/tex], alors le maximum de -x²+11x-18, est atteint en [tex]\displaystyle x=-\frac{11}{-2}=5,5[/tex]
Il faut donc placer le point M au maximum de la courbe C, pour que l'aire du triangle ABM soit maximale.
Déterminons enfin l'ordonnée du point M:
[tex]\displaystyle y_{M}=-\left(\frac{11}{2}\right)^{2}+11 \times \frac{11}{2}-18=-\frac{121}{4}+\frac{121}{2}-18=\frac{-121+242-72}{4}=\frac{49}{4}[/tex]
Les coordonnées du point M, tel que l'aire du triangle ABM est maximale sont [tex]\displaystyle M\left(\frac{11}{2}; \frac{49}{4} \right)[/tex] .
