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Bonjour je suis en Terminal Spe Maths et je nage un peu sur cet exercice pouvez vous m’aider svp ?

Exercice 1
On considère les suites (un) et (vn) définies par uo = 7 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = 0,5un+3 et vn = un-6.
1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 1.
2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.
3. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de un en fonction de n.
4. On note S = V0 + V1 + ... + V100 la somme des 101 premiers termes de la suite (vn).
(a) Déterminer la valeur de S.
(b) En déduire la valeur de la somme des 101 premiers termes de la suite (un).

Sagot :

Réponse :

U0 = 7

Un+1 = 0.5Un + 3    et  Vn = Un - 6    pour tout entier naturel n

1) montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0.5 et de premier terme 1

   Vn+1/Vn = (Un+1  - 6)/(Un - 6) = ((0.5Un + 3) - 6)/(Un - 6)

                  = (0.5Un  - 3)/(Un - 6)

                  = 0.5(Un - 6)/(Un - 6) = 0.5

on obtient   Vn+1/Vn = 0.5   donc (Vn) est une suite géométrique de raison

q = 0.5  et de premier terme V0 = U0 - 6 = 7 - 6 = 1

2) pour tout entier naturel n, exprimer Vn en fonction de n

           Vn = V0 x qⁿ  donc  Vn = 1 x (0.5)ⁿ

3) en déduire, pour tout entier naturel n, une expression de Un en fonction de n

  Vn = Un - 6  ⇔ Un = Vn + 6 = 0.5ⁿ + 6

     donc   Un = 0.5ⁿ + 6

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