nihalchennoufi44
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Salut j ai besoin de m'aider s il vous plaît on consider le polynom P(x)=6x^3-13x^2+4 1. Montre que 2 est une Racine 2.resoudre dans R l équation p(x)=0 puis l inequation p(x)< ou = 0 Et merci

Salut J Ai Besoin De Maider S Il Vous Plaît On Consider Le Polynom Px6x313x24 1 Montre Que 2 Est Une Racine 2resoudre Dans R L Équation Px0 Puis L Inequation Px class=

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1.

Dire que 2 est racine de P(x) veut dire que P(2)=0.

Calculons P(2)=6*(2*2*2)-13*(2*2)+4=48-52+4=0

Donc 2 est bien une racine.

2. Cela veut dire aussi que nous pouvons mettre (x-2) en facteur, il existe un polynôme Q tel que

[tex]P(x)=(x-2)Q(x)[/tex]

On peut faire un peu de calcul mental pour trouver Q(x).

Déjà son degré est 2, donc c'est de la forme [tex]ax^2+bx+c[/tex]

Mais comme le coefficient de [tex]x^3[/tex] de P(x) est 6 du coup a est forcément 6

Et comme le terme constant de P(x) est 4 c est forcément -2 car -2*-2=4

Donc il nous reste plus que le terme en x et on aura déjà [tex]-12x^2[/tex] venant du développment avec le terme en [tex]ax^2[/tex] et au final nous devons avoir -13 il manque -1, et donc

[tex]P(x)=(x-2)(6x^2-x-2)[/tex]

Sinon, on aurait aussi pu écrire Q(x) comme [tex]ax^2+bx+c[/tex], développer et identifier les termes des polynômes.

Maintenant, il faut trouver les racines manquantes.

[tex]\Delta=b^2-4ac=1+4*2*6=49=7^2\\\\x_1=\dfrac{1-7}{12}=\dfrac{-6}{12}=-\dfrac{1}{2}\\\\x_2=\dfrac{1+7}{12}=\dfrac{2}{3}[/tex]

Les solutions de P(x) = 0 sont donc

[tex]\large \boxed{\sf \bf 2; \ \dfrac{2}{3}; \ -\dfrac{1}{2}}[/tex]

Il s'agit de trouver le signe d'un produit de 3 termes. Et si on faisait un tableau de signes !?

[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccc}-x&...&-1/2&...&2/3&...&2&...\\---&---&---&---&---&---&---&---\\(x+1/2)&-&0&+&&+&&+\\---&---&---&---&---&---&---&---\\(x-2/3)&-&&-&0&+&&+\\---&---&---&---&---&---&---&---\\(x-2)&-&&-&&-&0&+\\---&---&---&---&---&---&---&---\\P(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\end{array}\right|[/tex]

Donc les solutions à l'équation P(x)<0 sont

[tex]\boxed{\sf \bf \ ]-\infty;-1/2[\cup]2/3;2[ \ }[/tex]

3. On va essayer d'être malin et regarder la différence, c'est-à-dire

[tex]P(x)-3x^2(x-2)=(x-2)(6x^2-x-2-3x^2)=(x-2)(3x^2-x-2)[/tex]

[tex]\Delta=1+2*4*3=25=5^2\\\\x_1=\dfrac{1-5}{6}=-\dfrac{2}{3}\\\\x_2=\dfrac{1+5}{6}=1[/tex]

Un petit tableau de signes que voici

[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccc}-x&...&-2/3&...&1&...&2&...\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\(x+2/3)&-&0&+&&+&&+\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\(x-1)&-&&-&0&+&&+\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\(x-2)&-&&-&&-&0&+\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\P(x)-3x^2(x-2)&-&0&+&0&-&0&+\\\end{array}\right|[/tex]Les solutions sont donc

[tex]\boxed{\sf \bf \ ]-\infty;-2/3]\cup[1;2] \ }[/tex]

Merci

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ P(x) = 6x³ - 13x² + 4

          = (x-2) (6x² - x - 2) donc 2 est bien une racine

          = (x-2) (x+0,5) (6x-4)

          = 4 (x-2) (x+0,5) (1,5x-1)

■ P(x) devient nul pour x = -0,5   ou   x = 2/3   ou x = 2

■ P(x) est strictement positif pour x ∈ ]-0,5 ; 2/3[   ou x > 2

■ P(x) ≤ 3x³ - 6x² donne (x-2) (6x²-x-2) ≤ 3x² (x-2)

   1er cas avec x > 2 :

        6x²-x-2 ≤ 3x²

        3x²-x-2 ≤ 0

   (x-1) (3x+2) ≤ 0

        -2/3 ≤ x ≤ 1 --> pas de solution !

    2d cas avec x < 2 :

         6x²-x-2 ≥ 3x²

    (x-1) (3x+2) ≥ 0

                    x ≤ -2/3   ou x ≥ 1

    Solution = ]-∞ ; -2/3] U [1 ; 2[ .

    3ème cas avec x = 2 :

    P(x) est nul donc P(x) ≤ 0 est vérifié !

    conclusion : Solution = ]-∞ ; -2/3] U [1 ; 2] .

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