Explications étape par étape:
Salut,
2a) Il suffit de calculer méthodiquement : Vn = Un+1 - Un = 2n + 2. Vn est donc une suite arithmétique de raison 2, et de 1er terme V0 = 2. On peut le vérifier : U1 = U0 + 2 = 2 et V0 = U1 - U0 = 2.
B) Tu peux calculer manuellement cette somme, ou formellement en fonction de ton niveau. Formellement, tu as : Rn = Somme de k allant de 0 à n de (2k + 2) = 2*[Somme de k allant de 0 à n de k] + 2*(n+1) (car on somme n+1 fois le chiffre 2) par linéarité de ta somme.
Tu déduis que Rn = 2*n(n+1)/2 + 2*(n+1) = n(n+1) + 2*(n+1) = (n+1)(n+2).
C) Même chose que précédemment, étant donné que Vn = Un+1 - Un, formellement tu déduis ;
Rn = Somme de k allant de 0 à n de (Uk+1 - Uk) = Somme de k allant de 0 à n de Uk+1 - Somme de k allant de 0 à n de Uk.
Tu as aussi Somme de k allant de 0 à n de Uk+1 = Somme de k allant de 1 à n+1 de Uk par changement d'indice.
Il restera donc après différence, Un+1 - U0 (peut-être l'as-tu vu en cours, il s'agit d'une somme télescopique, tous les termes sont supprimés, sauf le premier et le dernier).
D) Par la question précédente, il s'ensuit que Un+1 = Rn + U0. Or, Un+1 = Un + 2n + 2 d'où Rn + U0 = Un + 2n + 2, donc Un = Rn + U0 - 2n - 2 = (n+1)(n+2) - 2n - 2.
