Réponse :
U0 = 6
Un+1 = -2Un + 3 pour tout n ∈N
1) calculer U1 , U2 et U3
U1 = - 2U0 + 3 = - 2*6 + 3 = - 9
U2 = - 2U1 + 3 = - 2*(-9) + 3 = 21
U3 = - 2U2 + 3 = - 2*21 + 3 = - 39
la suite (Un) est -elle arithmétique ? géométrique ?
U1 - U0 = - 9 + 6 = - 3
U2 - U1 = 21 - (-9) = 30
donc (Un) n'est pas arithmétique
U1/U0 = - 9/6 = - 3/2
U2/U1 = 21/-9 = - 7/3
la suite (Un) n'est pas géométrique
2) on pose pour tout entier naturel n, Vn = (Un) - 1
démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison - 2
Vn+1 = (Un+1) - 1
Vn+1/Vn = (Un+1) - 1)/(Un - 1) = (- 2Un + 3 - 1)/(Un - 1) = (- 2Un + 2)/(Un - 1)
= - 2(Un - 1)/(Un - 1) = - 2
donc Vn+1/Vn = - 2 donc la suite (Vn) est géométrique de raison q = - 2
3) en déduire l'expression de (Vn) en fonction de n
Vn = V0 x qⁿ V0 = U0 - 1 = 6 - 1 = 5 et q = - 2
donc Vn = 5 x (- 2)ⁿ
puis celle de Un en fonction de n
or Vn = Un - 1 ⇔ Un = Vn + 1 ⇔ Un = 5 x (- 2)ⁿ + 1
Explications étape par étape
