Hello,
1. Etape 1 - vrai au rang n = 0
[tex]u_0=0\leq 9[/tex]
C'est vrai pour n = 0
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai pour k et démontrons que ça reste vrai pour k+1
En utilisant l'Hypothèse de récurrence est [tex]u_k\leq 9[/tex] nous pouvons écrire
[tex]u_{k+1}=\dfrac{2}{3}u_k+3\leq \dfrac{2}{3}\times9+3=6+3=9[/tex]
Donc c'est vrai eu rang k+1.
Etape 3 - Conclusion
Nous venons de démontrer que pour tout n entier [tex]u_n\leq 9[/tex]
2.
Prenons n entier quelconque
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{3}u_n+3-u_n\\\\=\dfrac{2-3}{3}u_n+3\\\\=-\dfrac{1}{3}u_n+3\geq \dfrac{-1*9}{3}+3=0[/tex]
Donc [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] est positif.
3.
Donc [tex](u_n)[/tex] est croissante.
L'exo est finit mais on peut aller plus loin.
Comme la suite est majorée et croissante elle converge vers une limite l telle que
[tex]l=\dfrac{2}{3}l+3\\\\\dfrac{1}{3}l=3\\\\l = 9[/tex]
donc le suite [tex](u_n)[/tex] converge vers 9.
Merci
