Bonjour,
Nous souhaitons démontrer que la proposition est vraie pour tout n non nul.
Etape 1 - vérifions pour n = 1
[tex]u_1=1\cdot2\cdot3=6\\ \\v_1=\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot3}{4}=1\cdot2\cdot3=6-u_1[/tex]
Donc, c'est vrai au rang 1.
Etape 2 - Supposons que c'est vrai au rang k (k>0) et montrer que cela reste vrai au rang k+1
[tex]u_{k+1}=u_k+(k+1)(k+2)(k+3)=v_k+(k+1)(k+2)(k+3)\\ \\\text{par hypothese de recurrence, et comme } \\ \\v_{k+1}=\dfrac{(k+)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \text{ Nous pouvons constater que}\\v_k+(k+1)(k+2)(k+3)=\dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\\\\=\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}=v_{k+1}[/tex]
De ce fait, la propriété est vraie au rang k+1
Etape 3 - Conclusion
Nous venons de démontrer par récurrence que [tex](\forall n\in \mathbb{N}^*) \ (u_n=v_n)[/tex]
Merci
