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1. Chez le fleuriste, Jean achète 6 roses et 7 tulipes. Il paye
67 F. Jeanne va chez le même fleuriste et achète 7 roses et
6 tulipes; elle paye alors 69,5 F.
Quelles sont les prix respectifs d'une rose et d'une tulipe?
2. Paul désire acheter 9 cahiers. Il se rend chez son mar-
chand habituel avec 80 francs en poche. Ce dernier, farceur,
a enlevé les étiquettes indiquant les prix et lui dit : «Si tu
achètes 5 cahiers de 100 pages et 4 cahiers de 200 pages, il
te restera 50 centimes. Si tu achètes 4 cahiers de 100 pages
et 5 cahiers de 200 pages, il te manquera 2,50 francs. >>
Quels sont les prix respectifs d'un cahier de 100 pages et
d'un cahier de 200 pages?
3. Trouver une fraction telle que si on ajoute 6 à son
numérateur et à son dénominateur, on trouve 0,75, et si on
retranche 4 à son numérateur et à son dénominateur, on
trouve 0,5.

Sagot :

arthurduvier

Réponse :

Bonjour, politesse !

Tous ces examples sont des équations à deux inconnues, il faut nommer ces inconnues à chaque fois pour résoudre.

1) On appelle R le prix des roses et T celui des tulipes

6xR + 7xT = 67

7xR + 6xT = 69,5

Par souci de simplicité, on va utiliser une astuce, soustraire la première équation à la deuxième pour obtenir une forme plus sympathique:

6xR + 7xT = 67

7xR + 6xT - 6xR - 7xT = 69,5 - 67

6xR + 7xT = 67

R - T = 2,5

On isole R et on remplace dans la première équation:

6 (T + 2,5) + 7xT = 67

R = T + 2,5

13 T = 67 - 15

R = T + 2,5

T = 52 / 3 = 4€

R = T + 2,5 = 6,5€

2) idem, appellons X le prix des cahiers de 100 pages et Y celui des cahiers 200 pages. La difficulté ici est de bien poser les équations, et ne pas se tromper dans les signes pour "rester 50 centimes" et "manquer 2,50 francs"

5X+4Y = 80 - 0,5

4X+5Y= 80 +2,5

On peut utiliser la même méthode que précédemment en soustrayant, ce qui est le plus efficace. On va néanmoins procéder autrement ici en isolant une inconnue dans la première équation directement.

X = (79,5 - 4Y) / 5

4 (79,5 - 4Y) / 5 + 5Y =82,5

X = (79,5 - 4Y) / 5

(318 - 16Y) / 5 + 5Y =82,5

X = (79,5 - 4Y) / 5

63,6 - 3,2Y + 5Y = 82,5

X = (79,5 - 4Y) / 5

1,8Y = 82,5 - 63,6 = 18.9

On peut finalement résoudre en réinjectant dans la première équation:

X=(79,5-4*10,5)/5=7,5€

Y=10,5€

On peut voir que cette méthode amène à des calculs plus encombrants que la première

3)Appelons D le dénominateur et N le numérateur:

(N+6)/(D+6)=0,75

(N-4)/(D-4)=0,5

Attention, comme toujours lorsque l'on travaille avec des fractions, il faut être sûr de ne rien faire d'interdit. Ici, D ne peut pas être égal à -6 ni à 4 sinon on diviserait par 0. On vérifiera à la fin.

En gardant cela en tête, on réalise des produits en croix pour tou mettre sur une seule ligne:

N+6 = 0,75 (D+6)

N-4 = 0,5 (D-4)

On isole N dans la deuxième équation:

N+6 = 0,75 (D+6)

N= 0,5D - 2 + 4

On utilise son expression dans la première:

(0,5D -2)+6= 0,75D + 4.5

N=0,5D -2

-2 + 6 -4,5 = 0,75 D -0,5 D

N=0,5D - 2

-0.5 = 0.25D

N=0,5D - 2

Finalement:

D = -2

N = -3

D n'a pas une valeur interdite, on est content !

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