Réponse : Bonjour,
Exercice 3
L'équation de la tangente à f, au point d'abscisse [tex]a \in \mathbb{R}[/tex], est:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\y=(2a-6)(x-a)+a^{2}-6a+10\\y=(2a-6)x-2a^{2}+6a+a^{2}-6a+10\\y=(2a-6)x-a^{2}+10[/tex]
Donc la tangente à f au point d'abscisse [tex]a[/tex], passe par le point A(2; -1), si et seulement si:
[tex](2a-6) \times 2-a^{2}+10=-1\\4a-12-a^{2}+10=-1\\-a^{2}+4a-1=0[/tex]
On résout cette dernière équation du second degré:
[tex]\displaystyle \Delta=4^{2}-4 \times (-1) \times (-1)=16-4=12\\a_{1}=\frac{-4-\sqrt{12}}{-2}=\frac{4+\sqrt{12}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\\a_{2}=\frac{-4+\sqrt{12}}{-2}=\frac{4-\sqrt{12}}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}[/tex]
Donc aux point d'abscisses [tex]a_{1}=2+\sqrt{3}[/tex], et [tex]a_{2}=2-\sqrt{3}[/tex], la tangente à f passe par le point A(2;-1).
Il ne reste plus qu'à calculer l'ordonnée de ces deux points.
i) L'ordonnée du point de C, d'abscisse [tex]a_{1}=2+\sqrt{3}[/tex], est:
[tex]y_{a_{1}}=(2+\sqrt{3})^{2}-6(2+\sqrt{3})+10=4+4\sqrt{3}+3-12-6\sqrt{3}+10\\y_{a_{1}}=5-2\sqrt{3}[/tex]
ii) L'ordonnée du point de C, d'abscisse [tex]a_{2}=2-\sqrt{3}[/tex], est:
[tex]y_{a_{2}}=(2-\sqrt{3})^{2}-6(2-\sqrt{3})+10=4-4\sqrt{3}+3-12+6\sqrt{3}+10\\y_{a_{2}}=5+2\sqrt{3}[/tex]
Donc l'ensemble des points de C, dont la tangente passe par le point A sont les points de coordonnées [tex](2+\sqrt{3}; 5-2\sqrt{3})[/tex], et [tex](2-\sqrt{3}; 5+2\sqrt{3})[/tex].
Exercice 8
La tangente à C au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses, donc f'(1)=0.
Calculons la dérivé de f:
[tex]\displaystyle f'(x)=a+\frac{b}{2\sqrt{x}}[/tex]
Comme f'(1)=0, alors:
[tex]\displaystyle f'(1)=a+\frac{b}{2}=0\\ a=-\frac{1}{2}b[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}bx+b\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(-\frac{b}{2}\sqrt{x}+b\right)[/tex]
On résout l'équation f(x)=0:
[tex]\displaystyle \sqrt{x}\left(-\frac{b}{2}\sqrt{x}+b \right)=0\\ \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0\\ -\frac{b}{2}\sqrt{x}+b=0\\ -\frac{b}{2}\sqrt{x}=-b\\\sqrt{x}=b \times \frac{2}{b}\\ \sqrt{x}=2\\x=2^{2}=4[/tex]
Donc les solutions de l'équation f(x)=0, sont 0 et 4.
