Réponse :
soit f(x) = 1/10)(x - 20)² - 10 définie sur R
1) démontrer que, pour tout réel x, on a, f(x) = 1/10) x² - 4 x + 30
il suffit de développer f(x) = 1/10)(x - 20)² - 10 = 1/10)(x² - 40 x + 400) - 10
⇔ f(x) = 1/10) x² - 40/10) x + 400/10) - 10 ⇔ f(x) = 1/10) x² - 4 x + 40 - 10
⇔ f(x) = 1/10) x² - 4 x + 30
2) déterminer, en justifiant le tableau de variation de f sur R
soit f(x) = 1/10)(x - 20)² - 10 f est sous forme canonique f(x) = a(x - α)² + β
S(α ; β) sommet de la courbe
x - ∞ 20 + ∞
f(x) + ∞ →→→→→→→→→→→ - 10 →→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
3) démontrer que, pour tout réel x f(x) = ((1/10) x - 1)(x - 30)
f(x) = 1/10)(x - 20)² - 10 ⇔ f(x) = 1/10)[(x - 20)² - 100]
⇔ f(x) = 1/10)[(x - 20)² - 10²] = 1/10)(x - 20 + 10)(x - 20 - 10)
⇔ f(x) = 1/10)(x - 10)(x - 30) ⇔ f(x) = ((1/10) x - 10*1/10)(x - 30)
⇔ f(x) = ((1/10) x - 1)(x - 30)
4) en déduire le tableau de signe de f sur R et les antécédents de 0 sur f
x - ∞ 10 30 + ∞
1/10) x - 1 - 0 + +
x - 30 - - 0 +
f(x) + 0 - 0 +
les antécédents de 0 par f sont 10 et 30
Explications étape par étape