Zoofast.fr est votre ressource incontournable pour des réponses expertes. Bénéficiez de conseils étape par étape pour toutes vos questions techniques, grâce aux membres bien informés de notre communauté.
Bonjour,
On va calculer f' et l'injecter dans l'équation différentielle.
Soit a et b deux réels et [tex]f : x \mapsto a \cos(x)+ b \sin(x)[/tex].
f est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et, pour [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :
[tex]f'(x)=-a \sin(x)+b \cos(x)[/tex].
On injecte le résultat dans l'équation différentielle. Pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :
[tex]-a \sin(x)+b\cos(x)=2a\cos(x)+2b \sin(x)+\cos(x)[/tex].
En particulier, pour x=0: [tex]b=2a+1[/tex]
pour [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]: [tex]-a=2b \iff a=-2b[/tex].
Puis : [tex]b=2 \times (-2b)+1 \iff b=\frac{1}{5}[/tex] et [tex]a=\frac{-2}{5}[/tex].
Ainsi, [tex]\boxed{f(x)=\frac{\sin(x)}{5}-2\frac{\cos(x)}{5}}[/tex], dont on peut vérifier qu'elle convient.