Réponse: Bonjour,
1) Le point M appartient au segment [AB], et comme AB=4, alors [tex]x \in [0;4][/tex].
2) Sur la figure, on voit que plus M se rapproche de A, plus la distance MM' est grande, donc la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;4].
3) Calculons AC.
Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore, nous dit que:
[tex]AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\\AC^{2}=4^{2}+4^{2}\\AC^{2}=32\\AC=\sqrt{32}\\AC=4\sqrt{2}[/tex]
Le maximum de f est quand le point M est confondu avec le point A.
Dans ce cas, le point M' appartient au segment [AC].
On a :
[tex]AC=MM'+M'C\\MM'=AC-M'C\\MM'=4\sqrt{2}-M'C[/tex]
Déterminons M'C.
L'arc de cercle en rouge passe par les points B et D.
Or comme ABCD est un carré, alors CB=CD=4.
On en déduit que l'arc de cercle est de centre C et de rayon 4.
Comme M' appartient à cet arc de cercle, alors M'C=4.
On est maintenant en mesure de calculer MM':
[tex]MM'=4\sqrt{2}-4=4(\sqrt{2}-1)[/tex].
Le maximum de f est donc [tex]4(\sqrt{2}-1)[/tex].
4) Dressons le tableau de variations de f:
x 0 4
f(x) 0 (croissante) [tex]4(\sqrt{2}-1)[/tex]