Réponse :
Bonjour
Exercice 49
1) On pose Uₙ = f(n)
f'(n) = -2n + 6
Donc f'(n) ≥ 0 sur ]-∞ ; 3] et f'(x) ≤ 0 sur [3 ; +∞[
Donc f(n) est croissante sur ]-∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; +∞[
La suite U est donc décroissante à partir du rang U₃
2) On pose Uₙ = f(n)
f'(n) = (2n(n+2) - n²)/(n+2)² = (n² + 4n)/(n+2)² = n(n+4)/(n+2)²
f'(n) ≥ 0 sur [0 ; +∞[
donc f est croissante sur [0 ; +∞[
La suite n est donc croissante
3) Posons Uₙ = f(n)
f'(n) = 2/2√2n+1 = 1/√2n+1
f'(n) ≥ 0 sur ]0 ; +∞[
donc f(n) est croissante sur ]0 ; +∞[
La suite U est donc croissante
4) Posons Uₙ = f(n)
f'(n) = -3n² + 12
donc f'(n) ≥0 sur [0 ; 2] et f'(n) ≤ 0 sur [2 ; +∞[
donc f est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[
La suite U est donc décroissante à partir du rang U₂
Exercice 50
1) Uₙ₊₁/Uₙ ≥ 1 ⇔ Uₙ₊₁ ≥ Uₙ (car Uₙ >0) ; la suite U est donc croissante
Uₙ₊₁/Uₙ ≤ 1 ⇔ Uₙ₊₁ ≥ Uₙ (car Uₙ >0) ; la suite U est donc décroissante
2) a) Uₙ = 5ⁿ
Uₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹
Uₙ₊₁/Uₙ = 5ⁿ⁺¹/5ⁿ = 5
Uₙ₊₁/Uₙ ≥ 1 donc la suite U est croissante
b) Vₙ =(2/3)ⁿ
Vₙ₊₁ = (2/3)ⁿ⁺¹
Vₙ₊₁/Vₙ = (2/3)ⁿ⁺¹/(2/3)ⁿ = 2/3
Vₙ₊₁/Vₙ ≤ 1 donc la suite V est décroissante
c) Wₙ = 5ⁿ/3ⁿ⁺¹
Wₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹/3ⁿ⁺²
Wₙ₊₁/Wₙ = (5ⁿ⁺¹/3ⁿ⁺²)/(5ⁿ/3ⁿ⁺¹) = 5/3
Wₙ₊₁/Wₙ ≥ 1 donc la suite W est croissante
d) Tₙ = 4n/2ⁿ
Tₙ₊₁ = 4(n+1)/2ⁿ⁺¹
Tₙ₊₁/Tₙ = (4(n+1)/2ⁿ⁺¹)/(4n/2ⁿ) = (2+1)/2n
Tₙ₊₁/Tₙ ≤ 1 (dés que n ≥ 2) donc la suite T est décroissante
