1) On veut que l'aire de l'enclos soit de[tex]72m^2=\text{longueur de l'enclos} \times \text{largeur de l'enclos}[/tex]
Or la largeur de l'enclos est notée x, donc la longueur vaut bien [tex]\frac{72}{x}[/tex].
L'enclos est accolé à la grange donc on ne prend en compte dans le calcul du périmètre qu'une fois, soit la largeur, soit la longueur. Comme la longueur est par définition supérieure à la largeur, il est plus logique d'accoler la longueur à la grange, pour minimiser la taille de la clôture.
Le périmètre est donc (on ne compte qu'une fois la longueur) : [tex]2x+\frac{72}{x}[/tex].
2) On trouve a=6 (et f(a)=24).
3) f est dérivable sur [2,8] et, pour x dans [2,8] :
[tex]f'(x)=2+72 \times \frac{-1}{x^2}=\frac{2x^2}{x^2}+\frac{-72}{x^2}=\frac{2(x+6)(x-6)}{x^2}[/tex]
car [tex]2(x+6)(x-6)=2(x^2-36)=2x^2-72[/tex].
4) Pour x dans [2,8], [tex]x+6 \ge 0[/tex] et [tex]x^2 \ge 0[/tex], donc le signe de f'(x) est bien celui de x-6.
5) f' s'annule donc en x=6.
Traçons son tableau de variation :
x [tex]-\infty[/tex] 6 [tex]+\infty[/tex]
f'(x) - 0 +
f(x) décroissante croissante
f atteint donc son minimum en a=6, qui vaut f(a)=24.
Le périmètre vaut donc 24 m, la largeur 6m et la longueur 12m.
