On réalise le changement de variable suggéré : [tex]x=t^{1/3}[/tex] donc [tex]\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\times t^{-2/3} \mathrm{d}t[/tex].
On a alors (les bornes restent 0 et 1) :
[tex]\int_{0}^1 \frac{x^2}{1+x^6} \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{t^{2/3}}{1+t^2} \frac{t^{-2/3}}{3} \mathrm{d}t=\frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t=\frac{1}{3} [\arctan(t)]_0^1 =\frac{1}{3} (\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\pi}{12}[/tex]
D'où : [tex]\boxed{I=\frac{\pi}{12}}[/tex].
