Il s'agit de calculer [tex]1+2+\cdots +499+500[/tex].
Notons S cette somme. On a :
[tex]\begin{array}{cccccccccc} S=&1 &+ &2&+&\cdots&+&499&+&500\\ S=&500&+&499&+&\cdots&+&2&+&1\\\end{array}[/tex] (on a simplement changé l'ordre des termes)
On remarque que si on fait la somme des expressions précédentes, on obtient :
[tex]2S=501+501+\cdots+501+501[/tex] et il y a 500 termes donc
[tex]2S=501 \times 500\\S=\frac{501 \times 500}{2} =\, \boxed{125 250=S}[/tex]
Plus généralement, on voit que, pour tout entier n :[tex]1+2+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex].
