1) Il suffit de développer l'expression donnée :
Pour x dans [tex]\mathbb{R}[/tex] :
[tex](x-4)^{2} -13 = (x^{2} -8x+16)-13=x^{2} -8x+3=f(x)[/tex]
d'où : [tex]f(x)=(x-4)^{2} -13.[/tex]
2) [tex]f(5)=5^2-8 \times 5+3=25-40+3=-12[/tex]
[tex]f(1)=1^2-8 \times 1+3=-4[/tex]
3) Pour x réel :
[tex](x-4)^{2} \geq 0[/tex] (c'est un carré)
donc [tex]f(x)=(x-4)^2-13 \ge -13[/tex].
4) Il y a une erreur ici. f n'admet pas de maximum sur [tex]\mathbb{R}[/tex] (elle tend vers [tex]+\infty[/tex] en [tex]\pm \infty[/tex]).
Elle admet cependant un minimum.
En effet, on sait qu'elle est toujours supérieure à -13. Or elle vaut -13 en 4 (on le voit plus facilement avec [tex]f(x)=(x-4)^2-13 :[/tex][tex]f(4)=(4-4)^2-13=-13[/tex]). Ainsi elle admet un minimum qui vaut -13, atteint en 4.
5) On va montrer que ce minimum n'est atteint qu'en 4 :
[tex]f(x)=-13 \iff (x-4)^2-13=-13 \iff (x-4)^2=0 \iff x-4=0 \iff x=4[/tex]
donc le minimum et bien atteint uniquement en 4.
