Réponse : Bonjour,
1) ABC est un triangle rectangle en A, donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex], sont orthogonaux, donc [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0[/tex].
2) On a:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0[/tex]
D'où:
[tex]\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}[/tex]
On calcule d'abord [tex]\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}[/tex].
H est le projeté orthogonal de C sur [AH], donc:
[tex]\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AH}=AH^{2}[/tex]
On calcule ensuite [tex]\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}[/tex].
H est le projeté orthogonal de A sur [HB], donc:
[tex]\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HC}=-HB \times HC[/tex].
Comme [tex]\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}[/tex], alors:
[tex]AH^{2}=-(-HB \times HC)=HB \times HC[/tex].
3) L'aire [tex]\mathcal{A}[/tex], du triangle ABC est:
[tex]\displaystyle \mathcal{A}=\frac{AH \times BC}{2}[/tex]
D'après ce qui précède:
[tex]AH^{2}=HB \times HC=1,5 \times 13,5=20,25\\AH=\sqrt{20,25}=4,5[/tex]
D'autre part:
[tex]BC=BH+HC=1,5+13,5=15[/tex]
Donc l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex], du triangle ABC est:
[tex]\displaystyle \mathcal{A}=\frac{4,5 \times 15}{2}=\frac{67,5}{2}=33,75[/tex]