Bonjour, ceci est un DM de Maths sur les équations cartésiennes, et je rame...
Enoncé :
Un designer a créé une applique murale extérieure. L'objectif de cet exercice est de modéliser le profil de la potence en forme de col de cygne (servant de support entre le mur et la lampe).
On envisage pour cela de raccorder la courbe représentative d'une fonction f à un arc de cercle.
Dans un repère orthonormé (0; vecteur i, vecteur j), on considère les trois points 0, A et D de coordonnées respectives: 0(0; 0) , A(6; 3,6) et D(6,4; 0)
Partie A: Identification d'une fonction
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = ax³ + bx² + cx +d où a,b,c et d sont des constantes réelles. Les contraintes esthétiques imposent à la courbe représentative Cf de cette fonction que :
1. Cf passe par le point O et admette en ce point une tangente de coefficient directeur -0,6; 2. Cf passe par le point A et admette en ce point une tangente horizontale.
1) En utilisant 1. , déterminer les valeurs des coefficients c et d.
2) En utilisant 2. , montrer que les coefficients a et b vérifient le système suivant :
72a + 12b = 2,4
108a + 12b = 0,6
3) Résoudre ce système et en déduire f(x).
Partie B: Etude de la fonction f
On admet que la fonction / est définie sur R par : f(x) = -0,05x³ + 0,5x² - 0,6x
1) Etudier les variations de la fonction f sur [0; 6].
2) On note E le point d'abscisse 4 de la courbe Cf. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf, au point E.
Partie C: Raccordement circulaire
On considère que le cercle C de centre D passant par le point E.
1) a. Montrer que le ravon du cercle C est R= 2,4√2.
b.En déduire une équation cartésienne de C.
c. Le point A appartient-il à ce cercle C?
d. Déterminer les points du cercle C d'ordonnée 1. On note F le point de plus grande abscisse.
2) Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle C passant par E (tangente = droite perpendiculaire au rayon [DE]).
3) En déduire que la courbe Cf et le cercle C ont bien une tangente commune en E.
