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Bonjour, s'il vous plait j'ai besoin d'aide, merci !

Une variable X suit une loi exponentielle de paramètre k = 0,5 .
1. Étudier la fonction densité de cette variable. Représenter la graphiquement. Indiquer
comment lire graphiquement la valeur du paramètre.
2. Démontrer que l’espérance et l’écart type d’une variable aléatoire à densité exponentielle sont égaux à 1/k
En déduire les valeurs de l’espérance et de l’écart type de X.
3. Calculer la probabilité que X soit comprise entre 1,5 et 2,5
4. Quelle est la probabilité que X dépasse 2, sachant qu’elle a dépassé 1,5.

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

1) La fonction densité de la variable X est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ telle que f(x) = 0,5[tex]e^{-0,5x}[/tex]

f'(x) = -0,25[tex]e^{-0.5x}[/tex] donc f'(x) < 0. Donc f(x) est décroissante sur [0 ; +∞[

voir représentation graphique en pièce jointe

Pour lire graphiquement la valeur du paramètre, on lit l'ordonnée du point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des ordonnées.

2) voir démonstration en pièce jointe

E(x) = σ(X) = 1/0,5 = 2

3) p(1,5 ≤ X ≤2,5) = p(X ≤ 2,5) - p(X ≤ 1,5) = 1 - [tex]e^{-0,5*2,5}[/tex] - (1 - [tex]e^{-0,5*1,5}[/tex])

                            = -[tex]e^{-1.25}[/tex] + [tex]e^{-0.75}[/tex] ≈ 0,18586

4) p(X ≥ 2) sachant que X ≥ 1,5 = p(X ≥ 1,5 + 0,5) sachant que X ≥ 1,5

  = p(X ≥ 0,5) = [tex]e^{-0.5*0.5}[/tex] = [tex]e^{-0.25}[/tex] ≈ 0,7788

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