Réponse :
Bonjour
1) a) h(x) = f(x)f(-x)
⇔ h'(x) = f'(x)f(-x) + f(x)f'(-x)
⇔ h'(x) = f'(x)f(-x) + f(x)(-f'(-x))
⇔ h'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x)
⇔ h'(x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x)
⇔ h'(x) = 0
b) h'(x) = 0 , h est donc constante sur R
c) on a h(0) = f(0)f(0) = 1 et h est constante donc h(x) = 1
f(x)f(-x) = 1 donc f ne peut pas s'annuler
2) a) f(x) ne s'annule pas,donc k(x) = g(x)/f(x) est définie et dérivable sur R comme quotient de 2 fonctions dérivables
b) k'(x) = [g'(x)f(x) - g(x)(f'(x)]/(f(x))²
⇔ k'(x) = [g(x)f(x) - g(x)f(x)]/(f(x))² = 0
c) k'(x) = 0 donc k est constante sur R
d) On a donc k(0) = g(0)/f(0) = 1
donc quelque soit x ∈ R , k(x) = 1 ⇔ g(x) = f(x)
Il n'existe donc qu'une et unique fonction f telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1
