Réponse : Bonjour,
b) F est une primitive de B sur [4;10], donc F'=B.
On calcule F'(x):
[tex]F'(x)=ae^{-0,25x+5}-0,25e^{-0,25x+5}(ax+b)=e^{-0,25x+5}(a-0,25ax-0,25b)\\F'(x)=e^{-0,25x+5}(-0,25ax+a-0,25b)[/tex]
Par identification, on a:
[tex]\displaystyle \left \{ {{-\frac{1}{4} a=1} \atop {a-\frac{1}{4}b=-4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=-4} \atop {-4-\frac{1}{4}b=-4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=-4} \atop {\frac{1}{4}b=-4+4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=-4} \atop {b=0}} \right.[/tex]
Donc [tex]F(x)=-4xe^{-0,25x+5}[/tex].
c) Le bénéfice moyen, pour x appartenant à [4;10] est:
[tex]\displaystyle \frac{1}{10-4} \int_{4}^{10} B(x) \; dx=\frac{1}{6}\left[F(x)\right]_{4}^{10}=\frac{1}{6}\left[-4xe^{-0,25x+5}\right]_{4}^{10}=\frac{1}{6}\left(-40e^{-2,5+5}+16e^{-1+5}\right)=\frac{1}{6}\left(-40e^{2,5}+16e^{4} \right)=-\frac{20}{3}e^{2,5}+\frac{8}{3}e^{4} \approx 64378[/tex] Le bénéfice moyen réalisé par l'entreprise pour x appartenant à [4;10], est 64378 euros, à l'euro près.