Réponse : Bonjour,
1) On a:
[tex]\displaystyle P([0;4])=\int_{0}^{4} \lambda e^{- \lambda t} \; dt=\lambda \int_{0}^{4} e^{- \lambda t} \; dt=\lambda \left[\frac{e^{- \lambda t}}{-\lambda}\right]_{0}^{4}=\lambda \left(\frac{e^{-4 \lambda}}{-\lambda}+\frac{e^{0}}{\lambda}\right)=-e^{-4 \lambda}+1[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle P([0;4])=\frac{e^{2}-1}{e^{2}}\\1-e^{-4 \lambda}=\frac{e^{2}-1}{e^{2}}\\e^{-4 \lambda}=1-\frac{e^{2}-1}{e^{2}}=\frac{e^{2}-e^{2}+1}{e^{2}}=\frac{1}{e^{2}}\\e^{-4 \lambda}=e^{-2}\\-4 \lambda=-2\\\lambda=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}[/tex]
Donc [tex]\displaystyle \lambda=\frac{1}{2}[/tex]
2) On a:
[tex]\displaystyle P([1;+\infty[)=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t} \; dt=\frac{1}{2} \int_{1}^{+ \infty} e^{-\frac{1}{2}t} \; dt=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-\frac{1}{2}t}}{-\frac{1}{2}}\right]_{1}^{+\infty}=\frac{1}{2}\left[-2e^{-\frac{1}{2}t}\right]_{1}^{+\infty}\\=\frac{1}{2}\left(\lim_{t \mapsto +\infty} -2e^{-\frac{1}{2}t}+2e^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}(0+2e^{-\frac{1}{2}})=e^{-\frac{1}{2}}[/tex]