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Bonjour, je suis bloquée sur cet exercice de maths quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît ?

On se place dans un repère orthonormé (O; vecteur de i; vecteur de j) et on considère les points I(3;0), J(0;2), B(4 0) et D(0;4).

1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure. Vous prendrez 2 cm pour 1 unité.

2) a) Déterminer une équation cartésienne des droites (DI) et (BJ).
b) Démontrer qu’elles ne sont pas parallèles.

3) Déterminer alors leur point d’intersection que l’on nommera C .

4) Les points M , N et P sont les milieux respectifs des segments [OC] , [BD] et [IJ] .
Démontrer que les points M , N et P sont alignés.

Sagot :

jpmorin3

bjr

2)

a) une équation cartésienne de droite est de la forme :  ax + by + c = 0

le vecteur (-b ; a) est un vecteur directeur de la droite

Droite (DI)

le vect DI est un vecteur directeur de la droite

D(0 ; 4)   I(3 ; 0)

coord vecteur DI : (3 - 0 ; 0 - 4) ; (3; - 4)

3 = -b ; - 4 = a

cette droite a une équation de la forme

-4x - 3y  + c = 0

pour calculer c on écrit qu'elle passe par le point D(0 ; 4)

-4*0 - 3*4 + c = 0  

       - 12 + c = 0

              c = 12

équation : -4x - 3y + 12 = 0

Droite (BJ)

vect BJ (-4 ; 2)

même méthode

on trouve :

équation : 2x + 4y - 8 = 0  

b)

les deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs DI et BJ sont colinéaires

vect DI (3 ; -4)    et    vect BJ (-4 ; 2)

(formule u(x ; y) et v(x' ; y') colinéaires <=> xy' = x'y )

ici 3*2 = 6   et    (-4)*(-4) = 16

les vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes

3) coordonnées du point d'intersection

on résout le système

-4x - 3y + 12 = 0  (1)

2x + 4y - 8 = 0    (2)

on multiplie par 2 les deux membres de (2)

4x + 8y - 16 = 0 (3)

on ajoute (1) et (3) membre à membre

0x + 5y - 4 = 0

       5y = 4

        y = 4/5

pour calculer x on remplace y par 4/5 dans (1)

on trouve x = 12/5

C(12/5 ; 4/5)

4)

coordonnées milieu AB : ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )

M ( 1/2(0 + 12/5) ; 1/2(0 + 4/5) ) ; M (6/5 ; 2/5)

N(2 ; 2)

P (1,5 ; 1)

coord PN (2 - 1,5 ; 2 - 1) ; (0,5 ; 1)

coord PM (6/5 - 1,5 ; 2/5 - 1) ; (1,2 - 1,5 ; 0,4 - 1) ; (-0,3 ; -0,6)

coord PN               coord PM

   0,5                          -0,3

     1                            -0,6

0,5*(-0,6) = -0,3

1*(-0,3) = -0,3

ces vecteurs sont colinéaires

les droites PN et MP sont parallèles

comme elles ont en commun le point P elles sont confondues. Les points

P, N et P sont alignés

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