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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice svp, je n'y arrive pas.

On souhaite démontrer la propriété suivante.
Soient m et m' deux réels.
Deux droites de coefficients directeurs m et m' sont parallèles si et seulement si m=m'.
En utilisant l'indication suivante , rédiger la démonstration de la propriété.
- Soient deux droites d et d' de coefficients directeurs m et m'. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de chacune des droites d et d' en fonction de m et m'.

Sagot :

Réponse : Bonjour,

On démontre d'abord que si deux droites d et d' de coefficients directeurs m et m', sont parallèles alors m=m'.

Soit [tex]\overrightarrow{u}(a;b)[/tex], un vecteur directeur de d, et [tex]\overrightarrow{v}(c;d)[/tex], un vecteur directeur de d'.

Comme d et d' sont parallèles, alors les vecteurs [tex]\overrightarrow{u}[/tex], et [tex]\overrightarrow{v}[/tex], sont colinéaires, alors il existe [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex], tel que [tex]\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}[/tex].

On a donc [tex]a=\lambda c[/tex], et [tex]b=\lambda d[/tex].

On rappelle que [tex]\displaystyle m=\frac{b}{a}[/tex] et [tex]\displaystyle m'=\frac{d}{c}[/tex], d'après ce qui précède:

[tex]\displaystyle m=\frac{b}{a}=\frac{\lambda d}{\lambda c}=\frac{d}{c}=m'[/tex].

On a donc montré que si d et d' sont parallèles, alors m=m'.

Démontrons maintenant que si d et d', ont des coefficients directeurs égaux, alors d et d' sont parallèles.

Soit [tex]\overrightarrow{u}(a;b)[/tex], un vecteur directeur de d, et [tex]\overrightarrow{v}(c;d)[/tex], un vecteur directeur de d'.

On a alors :

[tex]\displaystyle m=m'\\\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\\ bc=ad[/tex]

[tex]bc=ad[/tex], donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{u}[/tex] et [tex]\overrightarrow{v}[/tex], sont colinéaires, donc les droites d et d' sont parallèles.

On a donc montré que deux droites de coefficients directeurs m et m' sont parallèles si et seulement si m=m'.

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