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Bonjour à tous,
C est le cercle d'équation cartésienne : x²+y²-2x-4y+3=0
1) Déterminer le centre A et le rayon r du cercle C
2) Vérifier que le point B(2;3) appartient à C
3) d est la droite d'équation cartésienne : x+y-5=0
Démontrer que cette droite est tangente au cercle C au point B
Bonne Soirée (Merci à l'avance pour votre réponse)

Sagot :

Réponse :

1) déterminer le centre A et le rayon r du cercle C

    x² + y² - 2 x - 4 y + 3 = 0 ⇔ x² - 2 x + 1 - 1 + y² - 4 y + 4 - 4 + 3 = 0

⇔ (x² - 2 x + 1) + (y² - 4 y + 4) - 1 - 4 + 3 = 0

⇔ (x - 1)² + (y - 2)² - 2 = 0  ⇔ (x - 1)² + (y - 2)² = 2

l'équation du cercle est de la forme (x - a)² + (y - b)² = r²

donc le centre A a pour cordonnées  A(1 ; 2)  et le rayon r ;  r² = 2  

⇔ r = √2

2) vérifier que le point B(2 ; 3) ∈ C  ⇔  (2 - 1)² + (3 - 2)² = 2  ⇔ 1 + 1 = 2

donc  B ∈ C

3) d est la droite d'équation cartésienne  :  x + y - 5 = 0

démontrer que cette droite est tangente au cercle au point B

le rayon (AB)  a pour équation y = m x + p

m : coefficient directeur = (3 - 2)/(2-1) = 1

y = x + p ;  ⇔ 3 = 2 + p  ⇔ p = 3 - 2 = 1

 donc  y = x + 1   et  y = - x + 5

 m * m' = - 1   ⇔ 1 * (- 1) = - 1

Donc la droite d est ⊥ (AB)  donc la droite  (d) est tangente au cercle au point B    

 

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