PRESENTATION :
Roméo, comme chacun sait, est un grand romantique. Il a rendez-vous avec Juliette par une belle journée d’été ensoleillée. Il part pour son rendez-vous du point D pour rejoindre Juliette qui l’attend avec impatience au point C. Il souhaite en chemin faire un beau bouquet de roses en les cueillant sur l’allée aux roses du segment [AB]. Le trajet de Roméo est représenté en pointillés sur la figure.
PROBLEMATIQUE :Où se situe le point M pour que son trajet lui permettant de rejoindre Juliette soit le plus court possible ?
Remarque : Si vous avez téléchargé le logiciel gratuit de géométrie dynamique Géogébra, vous pourrez facilement faire la figure correspondant au problème posé et établir une conjecture concernant la position du point M !
on pose AM=x
alors DM²=DA²+AM²
=4²+x²
=x²+16
de même MC²=MB²+BC²
=(8-x)²+6²
=x²-16x+100
le trajet DM+MC est minimal si
d=√(x²+16)+√(x²-16x+100) est minimal
on pose f(x)=√(x²+16)+√(x²-16x+100)
f'(x)=x/√(x²+16)+(x-8)/√(x²-16x+100)
f'(x)=0 donne x=16/5=3,2
donc le trajet est minimal si AM=3,2 m