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Bonjour, pourriez vous m'aider à cet exercice :

Deux entreprises A et B d'un même groupe fabriquent et vendent des objets, dont la quantité est limitée à 1200 objets. Le bénéfice, issu de la fabrication et de la vente de x centaines d'objets est donné, en milliers d'euros, pour l'entreprise A par f(x) et pour l'entreprise B par g(x).
f(x)= -0,25(x-8)^2 + 9
g(x)= x-2

1.
a. Déterminer les quantités à produire et à vendre pour que l'entreprise A réalise un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice maximal.

b. Déterminer les quantités à produire et à vendre pour que l'entreprise A réalise un bénéfice de 3000 euros.

2.
a. Décrire l'évolution du bénéfice de l'entreprise B lorsqu'elle produit de 0 à 1200 objets.

b. Déterminer les quantités à produire et à vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice maximal.

3. Déterminer les quantités à produire et à vendre pour que l'entreprise A réalise un bénéfice strictement inférieur au bénéfice de l'entreprise B.

Merci BEAUCOUP d'avance !

Sagot :

muliavasoane

Réponse :

1)

a. 8 centaines objets avec 2.25 milliers €

b. pas de bénéfice de 3 000 €

2)

a. voir explications

b. voir explications

3) voir explications

Explications étape par étape

1)

a. l'entreprise A c'est f(x) = -0.25 * (x-8)^2 + 9

mettons l'équation sous la forme (c + d) * (c - d) ou c = x - 8 et d = 3^2

f(x) = -0.25 * (x - 8 + 3) * (x - 8 - 3) = -0.25 * (x - 5) * (x - 11)

f(x) = -0.25 * (x^2 - 16x + 55) alors a = 1  b = -16 et c = 55

trouvons l'abscisse x (quantité maximale à produire) avec -(b/2a)

c-à-d - ( -16 / 2 * 1 ) = - ( -16 / 2 ) = 8

donc 8 centaines objets

remplaçons le x par 8 dans f(x)

-0.25 * ( 8 - 5) * ( 8 - 11) = -0.25 * 3 * (-3) = -0.25 * -9 = 2.25 milliers €

donc bénéfice maximal 2.25 milliers €

b. les solutions de l'équation f(x) sont 5 et 11 et que son bénéfice maximal est de 2.25 milliers € avec 8 centaines objets vendus il est impossible d'aller au delà des 2.25 milliers € donc pas de bénéfice de 3 000 €, la quantité est limitée à  12 centaines objets il en reste 4 centaines objets à vendre pour l'entreprise B

2)

a. l'entreprise B g(x) = x - 2

comme il y a 12 centaines objets à calculer

g(0) = -2  g(1) = -1   g(2) = 0  g(3) = 1  g(4) = 2  g(5) = 3  g(6) = 4  g(7) = 5  

g(8) = 6  g(9) = 7  g(10) = 8  g(11) = 9  g(12) = 10

b. pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal l'entreprise A vend 8 centaines objets avec 2.25 milliers € et pour l'entreprise B (12 - 8) il lui reste

4 centaines objets à vendre donc g(4) = 2 c-à-d 8 + 4 = 12 centaines objets et 2.25 + 2 = 4.25 milliers euros de chiffre d'affaires

3)

faisons f(x) pour x de 5 à 11

f(5) = -0.25 * (5 - 5) * ( 5 -11) = 0

f(6) = -0.25 * (6 - 5) * ( 6 - 11 ) = -0.25 * 1 * -5 = 1.25

f(7) = -0.25 * (7 - 5) * ( 7 - 11 ) = -0.25 * 2 * -4 = 2

f(8) = -0.25 * ( 8 - 5 ) * ( 8 - 11 ) = -0.25 * 3 * -3 = 2.25

f(9) = -0.25 * ( 9 - 5 ) * ( 9 - 11 ) = -0.25 * 4 * -2 = 2

f(10) = -0.25 * ( 10 - 5 ) * ( 10 - 11 ) = -0.25 * 5 * -1 = 1.25

f(11) = -0.25 * ( 11 - 5 ) * ( 11 - 11 ) = -0.2 * 6 * 0 = 0

on voit que l'entreprise A doit vendre 6 ou 10 centaines objets pour qu'il réalise un bénéfice strictement inférieur au bénéfice de l'entreprise B donc pour ne pas dépasser 12 centaines objets sinon

6 pour A et 6 pour B ou

7 pour A et 5 pour B

pour faire 12 comme il est indiqué dans l'énoncé

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