flaviemarlard
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Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide je comprends pas du tout ... :/
(les fleches sont pour dire que ce sont des vecteurs)
On considère le problème suivant : ABC est un triangle. D est le point tel que −−→BD = 3 −−→BA − 2 −−→BC. Démontrer que D appartient à la droite (AC). 1. Voici la démonstration de Geoffrey pour ce problème. Elle est correcte mais manque d’explications.
−−→BD = 2 −−→BA + −−→BA − 2 −−→BC
−−→BD = −−→BA + 2 −→CA
−−→AD = −2 −→AC
Donc D appartient à la droite (AC).
Rédiger cette démonstration en mettant la démarche clairement en évidence et en justifiant chaque étape.
2. Voici le début de la démonstration de Romane pour ce problème.
−−→AD = −−→AB + −−→BD
−−→AD = −−→AB + 3 −−→BA − 2 −−→BC
Terminer cette démonstration en prouvant que −−→AB+3 −−→BA−2 −−→BC = −2 −→AC. Tout devra être justifié.
Merci si vous y arrivez!

Sagot :

Réponse :

démontrer que D appartient à la droite (AC)

                                   xD

                                               

                                             xA

                                     xB                  xC  

il suffit de montrer que les vecteurs AD et AC sont colinéaires

vec(BD) = 3vec(BA) - 2vec(BC)

d'après la relation de Chasles  on peut écrire que :  

vec(BD) = vec(BC)+vec(CD)    or  vec(CD) = vec(CA) + vec(AD)

3vec(BA) - 2vec(BC) = vec(BC) + vec(CA) + vec(AD)

3vec(BA) - 3vec(BC) = vec(CA) + vec(AD)

- 3vec(AB) - 3vec(BC) = vec(CA) + vec(AD)

- 3(vec(AB) + vec(BC)) = vec(CA) + vec(AD)

- 3vec(AC) = - vec(AC) + vec(AD)

donc vec(AD) = - 3vec(AC) + vec(AC) = - 2vec(AC)

donc vec(AD) = - 2vec(AC)

les vecteurs AD et AC sont colinéaires, on en déduit donc que les points A, C et D sont alignés  donc par conséquent  D ∈ (AC)  

                                   

Explications étape par étape

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