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Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plaît sur cet exercice je dois le rendre dans quelques minutes, merci d'avance !


Soit f la fonction définie sur ]−4 ; + ∞[ par f(x) =x³−2/x+4
.
1) Montrer que pour tout x > −4, la dérivée de f vérifie f′(x) =2x³+12x²+2/(x+4)².

2) Pour tout x > −4, on pose g(x) = 2x³ + 12x² + 2.

Etudier les variations de g et en déduire que g admet un minimum sur ]−4 ; + ∞[.
3) Montrer que f est monotone sur ]−4 ; + ∞[.

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

1) f'(x) = (3x²(x + 4) - (x³-2))/(x + 4)²

  f'(x) = (3x³ + 12x² - x³ + 2)/(x + 4)²

  f'(x) = (2x³ + 12x² + 2)/(x + 4)²

2) g'(x) = 3x² + 24x

voir tableau de variation en pièce jointe

g a donc un minimum de 2, atteint pour x = 0 sur ]-4 ; +∞[

3) f'(x) = g(x)/(x + 4)²

g(x) > 0 et (x + 4)² > 0 donc f'(x) > 0

La fonction f est donc strictement croissante sur ]-4 ; +∞[

Donc g(x) > 0

View image ecto220
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