Réponse :
Bonjour
Partie A
1) g(x) = 1 - x + e^x
g'(x) = e^x - 1
2) voir tableau de variation en pièce jointe.
3) Le minimum de la fonction est 2 , donc g(x) > 0
Partie B
f(x) = x + 1 + x/e^x
1) f'(x) = 1 + (e^x - xe^x)/(e^x)² = 1 + (e^x(1-x)/(e^x)² = 1 + (1-x)/e^x
f'(x) = (e^x + 1 - x)/e^x = (1 - x + e^x)e^-x = e^-xg(x)
2) on a vu dans la partie A que g(x) > 0
Donc f'(x) > 0
La fonction f est donc strictement croissant sur R
3) f'(0) = 2
f(0) = 1
Donc une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :
y = f'(0)(x-0) + f(0) = 2x + 1
