Réponse : Bonjour,
Comme vous l'avez dit, on procède par récurrence.
Initialisation: Pour n=1:
[tex]\displaystyle p_{1}=\left(\frac{1}{5}\right)^{1-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=1[/tex]
Comme par hypothèse [tex]p_{1}=1[/tex], alors c'est vérifié à l'ordre n=1.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}, p_{n}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1.
On part de la relation de récurrence:
[tex]\displaystyle p_{n+1}=0,5+0,2 p_{n}=0,5+ \frac{1}{5}\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}+\frac{1}{5} \times \frac{5}{8}\\=\frac{1}{2} +\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4+1}{8}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}[/tex]
La relation est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}, p_{n}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \times \frac{3}{8}+\frac{5}{8}[/tex].