Réponse :
Bonjour,
Exercice 3:
On pose le système d'équations comportant l'équation du plan (P) et (P') et on constate que les coefficients (a, b, c) de (P) avec a = 4 , b = -2 et c = 5 ne sont pas proportionnels aux coefficients (a', b', c') de (P') avec a' = - 5, b' = 2 , c'= -3.
On va donc essayer d'exprimer les réels x, y et z en fonction de z par exemple afin d'en déduire une représentation paramétrique de la droite (d), intersection des deux plans (P) et (P')
[tex]\left \{ {{4x - 2y + 5z - 1 = 0} \atop {-5x + 2y -3z + 2 = 0}} \right. [/tex]
(L2) <- (L2) + (L1) :
⇔[tex]\left \{ {{4x - 2y + 5z - 1 = 0} \atop {-x + 0y + 2z + 1 = 0}} \right. [/tex]
⇔[tex]\left \{ {{4x - 2y + 5z - 1 = 0} \atop {-x = -2z - 1}} \right. [/tex]
(L2) <- (L2) * -1
⇔[tex]\left \{ {{4x - 2y + 5z - 1 = 0} \atop {x = 2z + 1}} \right. [/tex]
On a pu exprimer x en fonction de z : x = 2z + 1
et on sait que z = z
Il ne manque plus qu'à exprimer y en fonction de z. Pour cela, on va remplacer dans la première ligne (L1) la valeur de x : 2z + 1 ce qui donne :
4 * (2z + 1) - 2y + 5z - 1 = 0
8z + 4 - 2y + 5z - 1 = 0
13z + 3 - 2y = 0
-2y = -13z - 3
2y = 13z + 3
y = 3/2 + 13/2z
D'où finalement le système d'équation suivant :
⇔[tex]\left \{ {{x = 1 + 2z} \atop {y = 3/2 + 13/2z}} \right. [/tex]
ajoute en dessous de y , z = 0 + 1z
Ceci est la représentation paramétrique de (d) la droite d'intersection.
(d) est la droite de vecteur directeur u = (2, 13/2, 1) et qui passe par le point A(1,3/2,0)
Bon courage.
