Rejoignez la communauté Zoofast.fr et obtenez les réponses dont vous avez besoin. Posez vos questions et obtenez des réponses détaillées et fiables de la part de notre communauté d'experts bien informés.
Sagot :
Réponse :
1) a) calculer U2
sachant que U1 = 100
U2 = 100 + 0.05 x 100 + 20 = 100(1+0.05) + 20 = 1.05 x 100 + 20 = 125
2) justifier que, pour tout n non nul, Un+1 = 1.05 x Un + 20
U2 = 1.05 x 100 + 20 peut s'écrire : U2 = 1.05 x U1 + 20
U3 = 125 + 0.05 x 125 + 20 = 125(1+0.05) + 20 = 1.05 x 125 + 20
U3 peut s'écrire : U3 = 1.05 x U2 + 20
U4 = 1.05 x U3 + 20, ....
donc on peut écrire Un+1 = 1.05 x Un + 20
2) pour tout entier naturel n, non nul on pose Vn = Un + 400
a) calculer V1
V1 = U1 + 400 = 100 + 400 = 500
b) démontrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison
Vn+1 = Un+1 + 400 = 1.05 Un + 20 + 400 = 1.05 Un + 420
Vn = Un + 400
Vn+1/Vn = (1.05 Un + 420)/(Un + 400) = 1.05(Un + 400)/(Un + 400)
donc Vn+1/Vn = 1.05 ⇔ Vn+1 = 1.05 x Vn (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1.05
c) exprimer Vn en fonction de n puis en déduire que
Un = 500 x 1.05ⁿ⁻¹ - 400
Vn = V1 x qⁿ⁻¹ = 500 x 1.05ⁿ⁻¹
puisque Vn = Un + 400 ⇔ Un = Vn - 400 ⇔ Un = 500 x 1.05ⁿ⁻¹ - 400
d) déterminer en fonction de n, la somme V1 + V2 + .... + Vn
Sn = V1 + V2 + .... + Vn
= 500 + 500 x 1.05 + ..... + 500 x (1.05)ⁿ⁻¹
= 500(1 + 1.05 + 1.05² + .... + (1.05)ⁿ⁻¹
= 500 x (1 - (1.05)ⁿ)/(1-1.05)
= 500 x (1 - (1.05)ⁿ)/-0.5
= - 1000 x (1 - (1.05)ⁿ)
5) quelle réponse Marc doit-il donner
- 1000 x (1 - (1.05)ⁿ) = 10 000 ⇔ - 1 + (1.05)ⁿ = 10 ⇔ (1.05)ⁿ = 11
n ln (1.05) = ln (11) ⇔ n = ln(11)/ln(1.05) = 2.3978/0.04879 ≈ 49 j
Explications étape par étape
Votre engagement est essentiel pour nous. Continuez à partager vos expériences et vos connaissances. Créons ensemble une communauté d'apprentissage dynamique et enrichissante. Pour des solutions rapides et fiables, pensez à Zoofast.fr. Merci de votre visite et à très bientôt.