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Bonjour /Bonsoir j'ai un problème avec cette exercice je narrive pas a le faire quelqu’un peut m'aider .Merci d'avance
Exercice 2 :
Le laboratoire pharmaceutique Clamex fabrique et commercialise un vaccin contre la rougeole. Sa
capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0 et 17 litres de ce produit.
On note x le volume de production exprimé en litres.
On note B(x ) le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour la vente du
volume x de vaccin.
Partie A : Lecture graphique
On admet que la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 17] par B(x )=− x
3
+6 x
2
+180 x−184 .
Les résultats aux questions posées dans cette partie seront donnés en s’aidant d’un graphique à
réaliser avec GeoGebra.
1. Déterminer les volumes hebdomadaires vendus pour lesquels le bénéfice hebdomadaire est égal à
400 euros.
2. Pour quels volumes hebdomadaires vendus, le laboratoire Clamex est-il bénéficiaire ?
Partie B : Étude du bénéfice hebdomadaire
On note B′ la fonction dérivée de la fonction B.
1. a. Déterminer B′(x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17].
b. Montrer que B′(x)=(−3 x+30)( x+6) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17]
c. Étudier le signe de B′(x) sur l’intervalle [0 ; 17].
d. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 17]. On fera apparaître les
valeurs de la fonction B aux bornes de l’intervalle.
2. Déterminer le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal et calculer la
valeur de ce bénéfice, en euros.

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Pour déterminer les volumes hebdomadaires vendus pour lesquels le bénéfice hebdomadaire est égal à 400 euros, nous lisons les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 400.

Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons 3,2 ou 15,4.

Pour une fabrication de 3,2ℓ ou de 15,4ℓ, le laboratoire réalise un bénéfice de 400 (.

2. Pour déterminer les volumes hebdomadaires vendus, pour lesquels le laboratoire Clamex est bénéficiaire, nous lisons l’intervalle sur lequel la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses. Les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses

sont α ≈ 1 et β ≈ 16,3.

Le laboratoire réalise un bénéfice lorsqu’il vend une production appartenant à l’intervalle [α ; β].

Partie B : étude du bénéfice hebdomadaire

On admet que la courbe donnée en annexe 1 est la représentation graphique de la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 17] par

B(x) = −x

3 +6x

2 +180x −184.

On note B

la fonction dérivée de la fonction B.

1. a. Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17], B

(x) = −(3x 2 )+6(2x)+180 = −3x

2 +12x +180.

b. Montrons que B

(x) = (−3x+30)(x+6) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 17]

Pour ce faire, développons (−3x +30)(x +6).

(−3x +30)(x +6) = −3x

2 −18x +30x +180 = −3x

2 +12x +180 = B

(x).

c. Étudions le signe de B

(x) sur l’intervalle [0 ; 17].

Pour tout x ∈ [0 ; 17], x +6 > 0. Par conséquent le signe de B

(x) est celui de −3x +30.

Sur R, −3x +30 > 0 est équivalent à x < 10. Il en résulte :

si x ∈ [0 ; 10[, B

(x) > 0 et si x ∈]10 ; 17], B

(x) < 0.

d. Dressons le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 17].

Si pour tout x ∈ I, f(x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I.

Pour x ∈]10 ;17], B

(x) < 0, par conséquent B est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout x ∈ I, f

(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I.

Pour x ∈ [0 ; 10[, B

(x) > 0 par conséquent B est strictement croissante sur cet intervalle.

x 0 10 17

B

(x) + 0 −

Variations de B

−184 −303

1214

2. Déterminons le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal.

La fonction B étant strictement croissante sur [0; 10[ et strictement décroissante sur ]10; 17], admet donc en 10 un maximum égal à 1 214(.

Le volume hebdomadaire vendu pour obtenir un bénéfice maximal est de dix litres. Le bénéfice sera alors de 1 214 euros.

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