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a) Ces triangles sont rectangles.
En effet, GMB a pour côté [GB], or [GB] est le diamètre du cercle de centre E (C2), ainsi, et puisque tout triangle ayant pour côté l'un des diamètres de son cercle circonscrit est rectangle, GMB est rectangle.
De la même manière, APB a pour côté [AB], or [AB] est l'un des diamètres du cercle (C1), et ainsi, pour les mêmes raisons que ci-dessus, APB est rectangle.
b) D'après le théorème de Pythagore, GB² = GM² + MB²
Donc MG²=GB²-MB²
MG=[tex]\sqrt{GB^2-MB^2}[/tex] = [tex]\sqrt{4^2-2^2}[/tex], en effet, OB-OG=GB=6-(OE- rayon de C2)
GB=6-4+2=4
MG = [tex]\sqrt{12}[/tex] ≈ 3.46
c) Les triangles APB et GMB sont respectivement rectangles en P et M.
P∈(MB) et, évidemment, M∈(MB). Ainsi, les droites (AP) et (MG) sont perpendiculaires à une même troisième, (MB). Ainsi, (AP) et (MG) sont parallèles.
Les triangles APB et GMB ont ainsi deux angles identiques; leur angle droit, et l'angle ∠GBM, qu'ils partagent. On peut donc calculer un coefficient d'agrandissement liant les longueurs des côtés des deux triangles.
On a GB = OB-OG=6-2=4 et AB=12. Or 12/4 = 3, le coefficient d'agrandissement est donc 3. Par conséquent, AP = 3*MG = 3[tex]\sqrt{12}[/tex]
Quant à BP, on a BP=MB*3=2*3=6.
d) Cette question est la plus complexe. Se référer au schéma joint pour s'aider. Prolongeons le segment [GM], et traçons le cercle C3 de centre D avec D le milieu de [OG].
On obtient alors, si l'on prolonge la parallèle à (BP) passant par O, un triangle OHG, avec pour l'un de ses côtés [OG], le diamètre de C3, son cercle circonscrit. Ainsi, OHG est rectangle en H. De plus, les angles ∠OGH et ∠MGB étant opposés par le sommet, ils sont égaux. Ainsi, les triangles OHG et GMB ont deux angles égaux, on peut ainsi trouver un coefficient de réduction k liant les longueurs des côtés des deux rectangles. On a alors k=[tex]\frac{OG}{OB}[/tex]=2/4
Donc k*GM=HG=2/4*[tex]\sqrt{12}[/tex]=1/2
Calculons désormais HM.
HM = HG+GM=1/2[tex]\sqrt{12}[/tex]+[tex]\sqrt{12}[/tex]=3/2[tex]\sqrt{12}[/tex]
Or, puisque (IH) est la parallèle a (BP) passant par O, IP=HM
Calculons désormais 1/2AP.
1/2AP=1/2*3[tex]\sqrt{12}[/tex]=3/2[tex]\sqrt{12}[/tex]
Donc 1/2AP=IP. I est bien le milieu de [AP]
