Réponse : Bonsoir,
3)a) [tex](u_{n})[/tex] est une suite géométrique, donc:
[tex]\displaystyle u_{6}=u_{4} \times q^{2}\\q^{2}=\frac{u_{6}}{u_{4}}=\frac{9}{1}=9\\q=-3 \quad ou \quad q=3[/tex]
Comme dans cette question, la raison est négative, alors sa raison est égale à q=-3.
Donc, pour tout entier naturel n:
[tex]u_{n}=u_{4} \times (-3)^{n-4}=(-3)^{n-4}[/tex]
Pour étudier les variations de [tex](u_{n})[/tex], dans ce cas, on calcule:
[tex]\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(-3)^{n-3}}{(-3)^{n-4}}=-3[/tex]
On a donc que pour tout entier naturel n:
[tex]u_{n+1}=-3 u_{n}[/tex]
D'un terme à l'autre le signe change, donc la suite [tex](u_{n})[/tex], est non monotone quand la raison q=-3.
b) Ici la raison de la suite [tex](u_{n})[/tex], vaut q=3.
c) Comme dans la somme, le premier terme est [tex]u_{1}[/tex], je suppose que le premier terme de [tex](u_{n})[/tex] est [tex]u_{1}[/tex].
On calcule donc [tex]u_{1}[/tex]:
[tex]\displaystyle u_{4}=u_{1} \times 3^{3}\\u_{1}=\frac{u_{4}}{3^{3}}=\frac{1}{27}[/tex]
d) On a:
[tex]\displaystyle u_{1}+...+u_{6}=u_{1} \times \frac{1-3^{6}}{1-3}=\frac{1}{27} \times \frac{1-729}{1-3}=\frac{-728}{-54}=\frac{364}{27}[/tex]