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Sagot :
Réponse : Bonsoir,
1) f est une densité de probabilité si et seulement si:
[tex]\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; dx=1[/tex]
Donc que:
[tex]\displaystyle \int_{1}^{2} ax \; dx=1[/tex]
Puisque f(x)=0, si x < 1, et f(x)=0, si x > 2, donc l'intégrale de f dans les deux cas, est nulle.
On a donc:
[tex]\displaystyle \int_{1}^{2} ax \; dx=1\\\left[a \times \frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=1\\a \times \frac{2^{2}}{2}-a \times \frac{1^{2}}{2}=1\\a\left(2-\frac{1}{2}\right)=1\\\frac{3}{2}a=1\\ \\a=1 \times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
2)
[tex]\displaystyle P\left(\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right)=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f(x) \; dx=\int_{1}^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3}x \; dx=\frac{2}{3}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\left(\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}\right)\\=\frac{2}{3}\left(\frac{9}{4} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{9}{8}-\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{9}{8}-\frac{4}{8}\right)=\frac{2}{3} \times \frac{5}{8}[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac{5}{12}[/tex]
Donc [tex]\displaystyle P\left(\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right)=\frac{5}{12}[/tex]
3)
[tex]\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(x) \; dx[/tex]
i) Si x < 1, alors F(x)=0.
ii) Si [tex]1 \leq x \leq 2[/tex], alors:
[tex]\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x} \frac{2}{3} t \; dt=\frac{2}{3}\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{1}^{x}=\frac{2}{3}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{x^{2}-1}{2}\right)=\frac{x^{2}-1}{3}\\F(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{3}[/tex]
iii) Si x > 2, alors F(x)=1.
4)
[tex]\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \; dx=\int_{1}^{2} x \times \frac{2}{3}x \; dx=\frac{2}{3}\int_{1}^{2} x^{2} \; dx=\frac{2}{3}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\\ \frac{2}{3}\left(\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} \times \frac{7}{3}=\frac{14}{9}[/tex]
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