Explications étape par étape:
2) h est définie et dérivable sur R privé de x = 5/2 car quotient de 2 fonctions polynomiales. Tu as successivement : Pour tout réel x different de 5/2 :
f'(x) = 6x + 7 et g'(x) = 2.
On sait que (f/g) ' = [ (f'g - fg') / g^2] donc h'(x) = [ (6x+7)*(2x-5) - 2*(3x^2 +7x - 1) / (2x-5)^2]
= [ (12x^2 - 16x - 35) - (6x^2 + 14x - 2) / (2x-5)^2]
= [ (6x^2 - 30x - 33) / (2x-5)^2].
Dénominateur strictement positif, il faut donc trouver uniquement le signe du numérateur, pour cela on calcule le discriminant D = 900 + 4*33*6 = 1692.
Donc 2 solutions : x1 = (30 - racine de (1692))/ 12 ou x2 = (30 + racine de (1692)/ 12. En simplifiant ça donne : x1 = (5 - racine de (47) / 2) et x2 = (5 + racine de (47) / 2).
Donx le numérateur est positif sur ]-infini ; x1[ union ]x2 ; +infini[, nul en x = x1 = x2 et négatif sur ]x1 ; x2[.
On en déduit que h est strictement croissante sur ]-infini ; x1[ union ]x2 ; + infini[ et décroissante sur ]x1 ; x2[.
Pour e(x), elle est définie sur R en entier cette fois, et pour tout réel x, on sait que (f*g) ' = f'g + fg' donc e'(x) = 12x^2 - 16x - 35 + 6x^2 + 14x - 2 = 18x^2 - 2x - 37.
Le discriminant D vaut D = 4 + 4*37*18 = 2668.
Il y aura alors x1 = (1 - racine de (667) / 18) et x2 = (1 + racine de 667 / 18).
On en déduit les variations de e, qui sont comme h, strictement de croissante et décroissante
