shyvi
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Bonjour :)

L’échiquier et les grains de blé.

Scheran, promit à Sissa, de lui donner tout ce qu’il voudrait en guise de récompense. Sissa repondit : « Que votre majesté daigne me donner un grain de blé pour la première case de l’échiquier, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, et ainsi de suite, en doublant jusqu’à la soixante-quatrième case.»

a) Combien de grains de blé seront-ils donné pour la 2e case, 3e, la 5e, la 10e, 20e et la 64eme

b) Vérifie les trois égalités suivantes:

2(0)+2(1)= 2(2) - 1
2(0)+2(1)+2(2)= 2(3) - 1
2(0)+2(1)+2(2)+2(3)= 2(4) - 1

En utilisant la dernière égalité, montre que

2(0)+2(1)+2(2)+2(3)+2(4)= 2(5) - 1

c) On admet que, pour N entier naturel,

2(0)+2(1)+2(2)+2(3)+........+2(n)= 2(Nx1) - 1

Determine alors le nombre de grains de blé demandes par Sissa.

d) Arthur désire savoir à quoi correspond concrètement cette quantité. Il se procure donc des grains de blé, en compte 1000 et les pèse. Il en déduit qu’en moyenne, un grain de blé pèse 50mg. Estime en g, en kg puis en T, la masse totale des grains de blé demandes par Sissa.

e) Penses-tu que le monarque va pouvoir donner à Sissa la récompense qu’il souhaite ?

Merci :)

Sagot :

kougane91

Réponse :

Explications étape par étape

A)

case n° 2 : 1 x 2 = 2

case n° 3 : 2 x 2 = 4 = 2²

case n° 5 : 2 x case n°4 = 2x2

case n°3 = 2² x 2² = 2²(2+2) = 2⁴ = 16

case n°5 on a  2^(n°case-1) = 2^(5-1) = 2^4

donc

case n° 10 : 2^(10-1) = 2^9 = 512

case n° 20 : 2^(20-1) = 2^19 = 524 288

case n° 30 : 2^(30-1) = 2^29 = 563 870 912

case n° 64 : 2^(64-1) = 2^63 = 9 223 372 036 854 775 808

B.

2^0+2^1 = 2²-1

2^0+2^1 = 1+2 = 3 et 2²-1 = 4-1 = 3 vrai

2^0+2^1+2² = 2^3-1

2^0+2^1+2² = 3+4 = 7 et 2^3-1 = 8-1 =7 vrai

2^0+2^1+2²+2^3 = 2^4-1

2^0+2^1+2²+2^3 = 7+8 = 15 et 2^4-1 = 16-1 = 15

en utilisant la dernière égalité démontre que

2^0+2^1+2²+2^3+2^4=2^5-1

2^0+2^1+2²+2^3 = 2^4-1

donc

2^4-1 + 2^4 = 2^5 -1

2^4 + 2^4 = 2^5

2 x 2^4 = 2^5 or 2 = 2^1

2^1 x 2^4 = 2^5

2^(1+4) = 2^5

2^5 = 2^5

en déduire le nombre total de grains réclamés par Sissa

Nb de grain = 1 + 2 + 2^2 +2^3 +2^4 +.....+2^62 +2^63

Nb de grain = 2^0 + 2^1 + 2^2 +2^3 +2^4 +.....+2^62 +2^63

donc

Nb de grain = 2^64-1

Nb de grain = 18 446 744 073 551 616 -1

Nb de grain = 18 446 744 073 551 615

d. un grain pèse 50mg. Estime la masse total des grains réclamé par Sissa.

en g,

50 mg = 0.05g

Masse de grain = 18 446 744 073 551 615 x 0.05 = 922337203677581 g

en kg

1 g  = 0.001 kg = 10^-3 kg

Masse de grain = 922337203677581 x 10^-3 = 922337203677,581 = 922337203678  kg

en t

1 g = 10^-6 t

Masse de grain = 922337203677581 x 10^-6 = 922337203,677581 = 922337204 t

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