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Bonjour, je suis en 1ère Mathématiques spé.

J'ai un DM pour jeudi dont voici l'énoncé :
Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH4 de la façon suivante :
. Les noyaux d'atomes d'hydrogène occupent les positions des quatre sommets d'un tétraèdre régulier.
. Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d'hydrogène.
L'objectif est de déterminer une mesure de l'angle entre deux liaisons carbone-hydrogène.
Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

On considère le tétraèdre régulier ABCD d’arête a. E et F sont les milieux respectifs des arêtes [CB] et [AD]. On admet que le centre G du tétraèdre est situé au milieu du segment [EF] et qu'il est équidistant des sommets A,B,C et D.

1. En se plaçant dans des triangles bien choisis, montrer que DE = AE = ((racine de 3)/2) * a.

2.On se place dans le triangle AED.
a. Calculer la longueur EF, en déduire GE.
b.Montrer alors que GA= ((racine de 6)/4)*a. Pour ce calcul, on pourra utiliser le théorème de la médiane.

3. En déduire une mesure de l'angle AGD arrondie au degré. Conclure.

Je suis complètement paumé, je viens donc solliciter votre aide.

Sagot :

Réponse :

Comme je te l'ai dit ce matin  je reviens sur cet exercice.

Explications étape par étape

1)DE et AE sont les hauteurs des triangles équilatéraux DCB et ACB donc AE=DE=(aV3)/2 formule connue, vue en 4ème en application du th. de Pythagore.

2)le triangle ADE est isocèle en E, EF est la médiatrice de [AD], d'après le th. de Pythagore EF²=EA²-AF²=3a²/4-a²/4=2a²/4 donc EF=(aV2)/2  et EG=(aV2)/4

3) GA est la médiane issue de A dans le triangle AEF donc d'après le th de la médiane:

AE²+AF²=2AG²+EF²/2

2AG²=AE²+AF²-EF²/2=3a²/4+a²/4-2a²/8=(6a²+2a²-2a²)/8=6a²/8

AG²=6a²/16   et AG=(aV6)/4

3)Il reste à calculer  l'angle (vecGA;vecGD)

le produit scalaireGA*GD=[(aV6)/4]*[(aV6)/4]*cos (GA;GD)

 =(6a²/16) *cos [GA;GD)

mais on a aussi (ce qui suit est en veteurs ajoute les flèches)

GA*GD=(GF+FA)(GF+FD) ceci d'après la relation de Chasles

=GF*GF+GF*FD+FA*GF+FA*FD

GF*FD=0 tout comme GF*FD=0 (vecteurs perpendiculaires)

il reste GA*GD=2a²/16-a²/4=-2a²/16=-a²/8

En comparant les deux expressions du produit scalaire

on voit que 6a²/16* (cosGA;GD)=-a²/8

donc cos (GA;GD)=-1/3 soit l'angle AGD=109° (environ)

Vérifie quand même mes calculs de l'angle AGD.

 

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