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Sagot :
Réponse :
Comme je te l'ai dit ce matin je reviens sur cet exercice.
Explications étape par étape
1)DE et AE sont les hauteurs des triangles équilatéraux DCB et ACB donc AE=DE=(aV3)/2 formule connue, vue en 4ème en application du th. de Pythagore.
2)le triangle ADE est isocèle en E, EF est la médiatrice de [AD], d'après le th. de Pythagore EF²=EA²-AF²=3a²/4-a²/4=2a²/4 donc EF=(aV2)/2 et EG=(aV2)/4
3) GA est la médiane issue de A dans le triangle AEF donc d'après le th de la médiane:
AE²+AF²=2AG²+EF²/2
2AG²=AE²+AF²-EF²/2=3a²/4+a²/4-2a²/8=(6a²+2a²-2a²)/8=6a²/8
AG²=6a²/16 et AG=(aV6)/4
3)Il reste à calculer l'angle (vecGA;vecGD)
le produit scalaireGA*GD=[(aV6)/4]*[(aV6)/4]*cos (GA;GD)
=(6a²/16) *cos [GA;GD)
mais on a aussi (ce qui suit est en veteurs ajoute les flèches)
GA*GD=(GF+FA)(GF+FD) ceci d'après la relation de Chasles
=GF*GF+GF*FD+FA*GF+FA*FD
GF*FD=0 tout comme GF*FD=0 (vecteurs perpendiculaires)
il reste GA*GD=2a²/16-a²/4=-2a²/16=-a²/8
En comparant les deux expressions du produit scalaire
on voit que 6a²/16* (cosGA;GD)=-a²/8
donc cos (GA;GD)=-1/3 soit l'angle AGD=109° (environ)
Vérifie quand même mes calculs de l'angle AGD.
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