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Réponse : Bonjour,
1) La fonction inverse est définie sur l'intervalle ]0;+∞[. On suppose que cette fonction admet des primitives sur ]0;+∞[. Le nombre 1 appartient à l'intervalle ]0;+∞[ et 0 est un réel. Alors d'après le théorème sur l'unicité d'une primitive, prenant une valeur donnée en un réel donné, il existe une unique primitive F, de la fonction inverse telle que F(1)=0.
2) F est la primitive de la fonction inverse sur ]0;+∞[.
Or la fonction inverse est positive sur ]0;+∞[, donc F est croissante sur ]0;+∞[.
3)a) On pose
[tex]\displaystyle t=xT\\dt=x\; dT\\dT=\frac{dt}{x}[/tex]
Donc, en appliquant le changement de variables t=xT:
[tex]\displaystyle \int_{x}^{x \times y} \frac{1}{t} dt=\int_{1}^{y} \frac{1}{xT} x dT=\int_{1}^{y} \frac{1}{T} dT[/tex]
b)
On a:
[tex]\displaystyle \int_{x}^{x \times y} \frac{1}{t} dt=[F(t)]_{x}^{x \times y}=F(x \times y)-F(x)\\\int_{1}^{y} \frac{1}{T}dT=[F(T)]_{1}^{y}=F(y)-F(1)[/tex]
F(1)=0, donc:
[tex]\displaystyle \int_{1}^{y} \frac{1}{T} dt=F(y)[/tex]
On a donc que:
[tex]F(x \times y)-F(x)=F(y)\\F(x \times y)=F(x)+F(y)[/tex]
4)a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]F(X^{n})=nF(x)[/tex].
Initialisation: n=1, [tex]F(x)=1 \times F(X)=F(x)[/tex], donc trivialement, c'est vrai à l'ordre n=1.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que pour n entier naturel n, [tex]F(X^{n})=nF(x)[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]F(X^{n+1})=(n+1)F(X)[/tex].
Par l'hypothèse de récurrence, on a que:
[tex]F(X^{n})=nF(X)[/tex]
D'après la question précédente, pour tout nombre x et y strictement positifs:
[tex]F(x \times y)=F(x)+F(y)[/tex].
On a donc:
[tex]F(X^{n+1})=F(X^{n} \times X)=F(X^{n})+F(X)=nF(X)+F(X)=F(X)(n+1)\\F(X^{n+1})=(n+1)F(X)[/tex]
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]F(X^{n})=nF(X)[/tex].
b) Si n > 0, on en revient au cas de la question précédente.
On considère que n < 0, et on a:
[tex]\displaystyle F(X^{n})=F\left(\frac{1}{X^{-n}}\right)=F\left(\left(\frac{1}{X}\right)^{-n}\right)=-nF\left(\frac{1}{X}\right)[/tex]
On a que [tex]\displaystyle X \times \frac{1}{X}=1[/tex], donc :
[tex]\displaystyle F\left(X \times \frac{1}{X}\right)=F(1)=0[/tex]
Et donc:
[tex]\displaystyle F\left(X \times \frac{1}{X}\right)=F(X)+F\left(\frac{1}{X}\right)=0\\-F\left(\frac{1}{X}\right)=F(X)[/tex]
Et donc:
[tex]\displaystyle F(X^{n})=-nF\left(\frac{1}{X}\right)=n\left(-F\left(\frac{1}{X}\right)\right)=nF(X)[/tex]
On a donc pour tout entier [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]:
[tex]F(X^{n})=nF(X)[/tex]
c) Comme X > 1, alors [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} X^{n}=+\infty[/tex], alors en posant [tex]x=X^{n}[/tex]:
[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} F(X^{n})=\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)[/tex]
A la question 4)a), on a vu, que pour tout entier naturel n, [tex]F(X^{n})=nF(X)[/tex], donc:
[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} F(X^{n})=\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)=\lim_{n \mapsto +\infty} nF(X)=+\infty\\car \; \lim_{n \mapsto+\infty} n=+\infty[/tex]
et F(X) est une quantité constante.
Donc:
[tex]\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)=+\infty[/tex]
d) Puisque n < 0, car il tend vers -∞, ici, on a:
Donc:
[tex]\displaystyle \lim_{n \mapsto -\infty} F(X^{n})=\lim_{n \mapsto +\infty}F\left(\left(\frac{1}{X}\right)^{n}\right)[/tex]
Or comme X > 1, alors [tex]0 < \frac{1}{X} < 1[/tex], donc [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} \left(\frac{1}{X})^{n}=0^{+}[/tex].
On a donc, en posant [tex]x=\frac{1}{X}[/tex]:
[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} F\left(\left(\frac{1}{X}\right)^{n}\right)=\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)[/tex].
D'après la question 4)b), on a pour tout entier [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex], [tex]F(X^{n})=nF(X)[/tex], donc:
[tex]\lim_{n \mapsto -\infty} F(X^{n})=\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)=\lim_{n \mapsto -\infty} nF(X)=-\infty\\car \; \lim_{n \mapsto -\infty} n=-\infty[/tex]
Et F(X) est une constante.
On a donc:
[tex]\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)=-\infty[/tex]
5) La fonction F est définie et continue sur ]0;+∞[, [tex]\lim_{x \mapsto 0^{+}} F(x)=-\infty[/tex], [tex]\lim_{x \mapsto +\infty} F(x)=+\infty[/tex], et la fonction F est strictement croissante sur ]0;+∞[, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre [tex]y \in \mathbb{R}[/tex], il existe un unique [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex], tel que y=F(x).
a) On définit la fonction f: y-> x. Or on a vu à la question précédente, que pour tout [tex]y \in \mathbb{R}[/tex], il existe un unique [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex], tel que y=F(x).. Or par construction f(y)=x.
Donc f(y)=f(F(x))=x.
On a vu que F(1)=0, donc f(F(1))=f(0)=1, donc f(0)=1.
b) On a:
[tex]f'(y)=(f(F(x)))'=F'(x)f'(F(x))=\frac{1}{x}f'(y)=\frac{1}{f(y)}f'(y)[/tex]
D'après la question 5)a), [tex]f(F(x))=x[/tex], donc [tex](f(F(x)))'=(x)'=1[/tex].
Donc:
[tex]\displaystyle \frac{1}{f(y)}f'(y)=1\\f'(y)=f(y)[/tex]
On a donc pour tout [tex]y \in \mathbb{R}, f'(y)=f(y)[/tex].