Réponse : Bonjour,
Pour avoir les coordonnées du point M, on calcule d'abord l'équation de la droite (AB).
Calculons d'abord le coefficient directeur a de (AB):
[tex]\displaystyle a=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}[/tex]
On calcule maintenant l'ordonnée à l'origine b de (AB).
Comme le point A ∈ (AB), alors:
[tex]\displaystyle y_{A}=-\frac{3}{4}x_{A}+b\\0=-\frac{3}{4} \times 4+b\\ b=3[/tex]
L'équation de la droite (AB) est donc [tex]\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+3[/tex].
Si on note x l'abscisse du point M, alors le point M a pour coordonnées [tex]\displaystyle M\left(x;-\frac{3}{4}x+3\right)[/tex].
Comme P est le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses alors [tex]\displaystyle P(x;0)[/tex].
Comme Q est le projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées, alors [tex]\displaystyle Q\left(0;-\frac{3}{4}x+3\right)[/tex]
OPMQ est un carré si et seulement si OP=OQ.
Alors, on a:
[tex]\displaystyle OP=OQ\\OP=\sqrt{(x-0)^{2}+(0-0)^{2}}=|x|=x \quad car \; x \geq 0\\OQ=\sqrt{(0-0)^{2}+\left(-\frac{3}{4}x+3-0\right)^{2}}=|-\frac{3}{4}x+3|[/tex]
Comme le point M appartient à la droite [AB], alors [tex]x \in [0:4][/tex].
Déterminons [tex]\displaystyle |-\frac{3}{4}x+3|[/tex], pour [tex]x \in [0;4][/tex].
Résolvons l'inéquation:
[tex]\displaystyle -\frac{3}{4}x+3 \geq 0\\\frac{3}{4}x \leq 3\\x \leq 3 \times \frac{4}{3}\\x \leq 4[/tex]
Donc pour [tex]\displaystyle x \in [0;4], \; |-\frac{3}{4}x+3|=-\frac{3}{4}x+3[/tex].
Il nous reste, donc plus qu'à résoudre l'équation:
[tex]\displaystyle x=-\frac{3}{4}x+3\\x+\frac{3}{4}x=3\\\frac{4}{4}x+\frac{3}{4}x=3\\\frac{7}{4}x=3\\x=3 \times \frac{4}{7}=\frac{12}{7}[/tex]
Donc l'abscisse du point M, tel que le rectangle OPMQ est un carré est [tex]x=\frac{12}{7}[/tex].
Et son ordonnée dans ce cas est:
[tex]\displaystyle y=-\frac{3}{4} \times \frac{12}{7}+3=-\frac{3 \times 3}{1 \times 7}+3=-\frac{9}{7}+3=\frac{-9+21}{7}=\frac{12}{7}[/tex]
Donc les coordonnées du point M, tel que le rectangle OPMQ soit un carré est [tex]\displaystyle M\left(\frac{12}{7};\frac{12}{7}\right)[/tex]