Bonjour ;
La fonction x ----> e^(- x) est dérivable sur IR ;
donc la fonction x ----> - e^(- x) est dérivable sur IR .
De même la fonction x ----> 3 est dérivable sur IR .
La fonction f est dérivable sur IR comme somme de
deux fonctions dérivables sur IR ; donc on a pour tout x de IR :
f ' (x) = (3 - e^(- x)) ' = e^(- x) > 0 ;
donc ; f est strictement croissante sur IR .
2.
a.
Démontrons par récurrence que (u_n) est croissante .
Initialisation :
On a : u_0 = 2 et u_1 = 3 - e^(- 2) ;
donc : u_1 - u_0 = 3 - e^(- 2) - 2 = 1 - e^(- 2) > 0 .
hérédité :
Soit n ∈ IN tel que u_(n + 1) - u_n > 0 ;
donc : u_(n + 1) > u_n ;
donc : f(u_(n + 1)) > f(u_n) car f est strictement croissante ;
donc : u_(n + 2) > u_(n + 1) ;
donc : u_(n + 2) - u_(n + 1) > 0 .
Conclusion :
Pour tout n ∈ IN ; u_(n + 1) - u_n > 0 ;
donc (u_n) est strictement croissante .
b.
Pour tout n ∈ IN , e^(- u_n) > 0 ;
donc : - e^(- u_n) > 0 < 0 ;
donc : 3 - e^(- u_n) < 3 ;
donc : u_(n + 1) < 3 ;
donc pour tout n ∈ IN* ; u_n < 3 ;
et comme on a : u_0 = 2 < 3 ; alors pour
tout n ∈ IN , u_n < 3 ;
donc la suite (u_n) est majorée par 3 .
c.
la suite (u_n) est strictement croissante et majorée
donc elle est convergente .
